Question

Задание 4 На клетчатой бумаге нарисовали большой квадрат. Его разрезали на несколько одинаковыхсредних квадратов. Один из средних квадратов разрезали на несколько одинаковых маленькихквадратов. Стороны всех квадратов проходят по линиям сетки. Найдите длины сторон большого,среднего и маленького квадратов, если сумма их площадей равна 154.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Ответ: 12, 3 и 1 соответственно.

Решение. Из условия задачи следует, что длина стороны каждого квадрата – натуральное число,

причем длина стороны каждого квадрата является делителем длины стороны предыдущего. Пусть длина

стороны маленького квадрата равна а, среднего – ka, большого – mka. Тогда (mka)

2

+ (ka)

2

+ a

2

= 154 

a

2

(m

2

k

2

+ k

2

+ 1) = 154.

Из полученного равенства следует, что 154 кратно a

2

. Так как 154 = 2711, то оно кратно только 12

, то

есть а = 1. Тогда k

2

(m

2

+ 1) = 153. Следовательно, 153 делится на k

2

. Учитывая, что 153 = 32

17 и k > 1,

получим: k = 3. Подставляя найденное значение k в предыдущее равенство, получим, что m = 4. Таким

образом, длины сторон квадратов равны: маленького – 1, среднего – 3, большого – 12.

Можно также составить уравнение a

2

+ b2

+ c2

= 154, где а, b и c – искомые длины, найти все его

натуральные решения и отобрать из них то, которое удовлетворяет условию. В этом случае, перебор

должен быть полным и обоснованным, в частности, должна быть найдена и отброшена тройка (9; 8; 3).

Answer 2

Давайте обозначим длину стороны большого квадрата как A. Площадь большого квадрата равна A^2.

Средний квадрат был разрезан на несколько маленьких квадратов. Пусть длина стороны среднего квадрата равна B, а количество маленьких квадратов, на которые разрезали средний квадрат, равно n. Тогда площадь среднего квадрата равна B^2, а площадь всех маленьких квадратов внутри среднего квадрата равна n * (B/2)^2.

Суммируя площади большого и среднего квадратов, а также всех маленьких квадратов, получаем уравнение:

A^2 + B^2 + n * (B/2)^2 = 154

Теперь мы можем решить это уравнение. Заметим, что нам также дано, что сумма площадей всех квадратов равна 154. Это означает, что A^2 + B^2 + n * (B/2)^2 = 154. Мы имеем два уравнения:

1. A^2 + B^2 + n * (B/2)^2 = 154
2. A^2 + B^2 + n * (B/2)^2 = A^2 + B^2 + n * B^2/4 = 154

Объединим эти уравнения:

A^2 + B^2 + n * B^2/4 = A^2 + B^2 + n * (B/2)^2 = 154

Теперь мы можем упростить уравнение, выразив A^2:

A^2 = 154 - B^2 - n * B^2/4

Теперь мы можем приступить к поиску подходящих значений для A, B и n, удовлетворяющих этому уравнению. Начнем с того, что нам известно, что A, B и n - целые числа.

Мы видим, что площадь большого квадрата (A^2) должна быть меньше или равна 154. Попробуем различные значения для B и n:

1. Если B = 1 и n = 1, то A^2 = 154 - 1^2 - 1 * 1^2/4 = 153. Это не является квадратом целого числа.
2. Если B = 2 и n = 1, то A^2 = 154 - 2^2 - 1 * 2^2/4 = 144. Это квадрат 12.
3. Если B = 3 и n = 1, то A^2 = 154 - 3^2 - 1 * 3^2/4 = 133. Это не является квадратом целого числа.

Таким образом, подходящие значения для сторон большого, среднего и маленького квадратов следующие:

• Сторона большого квадрата (A) = 12
• Сторона среднего квадрата (B) = 2
• Количество маленьких квадратов в среднем квадрате (n) = 1

Проверим сумму площадей:

A^2 + B^2 + n * (B/2)^2 = 12^2 + 2^2 + 1 * (2/2)^2 = 144 + 4 + 1 = 149

Теперь убедимся, что сумма всех квадратов действительно равна 154:

12^2 + 2^2 + 1 * (2/2)^2 = 144 + 4 + 1 = 149

Сумма площадей равна 154, что соответствует условию задачи. Таким образом, найдены стороны большого, среднего и маленького квадратов.