Question

2. Найдите корни уравнения: 1) 2sin2(x - π/2) = 1 2) cos2 2x – sin2 2x = - 0,5 3) sin3x – cos 3x = 0.

Answer 1

Ответ:

$1)2 \sin(x - \frac{\pi}{2} ) = 1 \\ \sin(x - \frac{\pi}{2} ) = \frac{1}{2} \\ x1 - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi \: n \\ x1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \\ x2 - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \: n \\ x2 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi \: n$

n принадлежит Z.

$2) { \cos(2x) }^{2} - { \sin(2x) }^{2} = - \frac{1}{2} \\ \cos(4x) = - \frac{1}{2} \\ 4x = + - \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \\ x = + - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi \: n}{2}$

n принадлежит Z.

$3) \sin(3x) = \cos(3x)$

Разделим на cos(3x), который не должен быть равен нулю.

$tg(3x) = 1 \\ 3x = \frac{\pi}{4} + \pi \: n \\ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi \: n}{3}$

n принадлежит Z.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди:

1. 2sin^2(x - π/2) = 1

Сначала выразим sin^2(x - π/2) = 1/2:

sin^2(x - π/2) = 1/2

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

sin(x - π/2) = ±√(1/2)

Теперь найдем угол, для которого sin равен ±√(1/2). Это угол π/4 (45 градусов). Так как sin имеет период 2π, то мы можем найти все решения:

x - π/2 = π/4 + 2πn, где n - целое число

Теперь добавим π/2 к обеим сторонам:

x = π/4 + π/2 + 2πn

x = (π/4 + π/2) + 2πn

x = (3π/4) + 2πn

Таким образом, решение уравнения это:

x = (3π/4) + 2πn, где n - целое число.

2. cos^2(2x) - sin^2(2x) = -0.5

Давайте преобразуем уравнение:

cos^2(2x) - sin^2(2x) = -0.5

Используем тригонометрическое тождество для разности квадратов:

cos^2(2x) - sin^2(2x) = cos(4x) = -0.5

Теперь найдем угол, для которого cos(4x) = -0.5. Это угол π/3. Так как cos имеет период 2π, то мы можем найти все решения:

4x = π/3 + 2πn, где n - целое число

Теперь разделим обе стороны на 4:

x = (π/3 + 2πn)/4

x = (π/12) + (π/2)n

Таким образом, решение уравнения это:

x = (π/12) + (π/2)n, где n - целое число.

3. sin(3x) - cos(3x) = 0

Попробуем выразить одну из функций через другую. Давайте поделим обе стороны на cos(3x):

(sin(3x) - cos(3x)) / cos(3x) = 0

Теперь используем тригонометрическое тождество для тангенса разности:

tan(3x - π/4) = 0

Теперь найдем угол, для которого tan(3x - π/4) = 0. Это угол 3x - π/4 = 0. Так как tan имеет период π, то мы можем найти все решения:

3x - π/4 = πn, где n - целое число

Теперь добавим π/4 к обеим сторонам:

3x = πn + π/4

Теперь разделим обе стороны на 3:

x = (πn + π/4)/3

x = (π/4) + (π/3)n

Таким образом, решение уравнения это:

x = (π/4) + (π/3)n, где n - целое число.