Question

Дана геометрическая прогрессия с положительными членами, где третий член равен 18, пятый член равен 162. Сумма нескольких первых членов данной прогрессии равна 80. Найди их количество. ДАМ 25 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

4

Объяснение:

По условию $b_{1} > 0 \Longrightarrow q > 0$

По условию составим систему уравнений:

По свойству членов геометрической прогрессии:

$b_{4}^{2} = b^{3}\cdot b^{5} \Longrightarrow b_{4} = \sqrt{ b^{3}\cdot b^{5}} = \sqrt{18 \cdot 162} = \sqrt{2916} = 54$

$q = \dfrac{b_{4}}{b_{3}} = \dfrac{54}{18} = 3$

$b_{3} = b_{1}\cdot q^{3 - 1} \Longrightarrow b_{1} = \dfrac{b_{3}}{q^{2}} = \dfrac{18}{3^{2}} = \dfrac{18}{9} = 2$

По формуле сумму n - членов геометрической прогрессии:

$S_{n} = \dfrac{b_{1}(q^{n} -1 )}{q - 1}$

$80 = \dfrac{2(3^{n} -1 )}{3 - 1}$

$80 = \dfrac{2(3^{n} -1 )}{2}$

$80 = 3^{n} -1$

$81 = 3^{n}$

$3^{4} = 3^{n}$

$n = 4$

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q. Тогда третий член равен a * q^2 = 18, а пятый член равен a * q^4 = 162.

Мы можем выразить a и q из этих двух уравнений:

a * q^2 = 18 ---(1) a * q^4 = 162 ---(2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы избавиться от неизвестной a:

(a * q^4) / (a * q^2) = 162 / 18 q^2 = 9

Таким образом, q = 3.

Подставим найденное значение q в уравнение (1), чтобы найти a:

a * 3^2 = 18 a * 9 = 18 a = 2

Теперь у нас есть первый член прогрессии (a = 2) и знаменатель прогрессии (q = 3).

Сумма первых n членов геометрической прогрессии может быть найдена с помощью формулы:

S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)

Мы знаем, что сумма первых членов равна 80:

80 = 2 * (3^n - 1) / (3 - 1)

Упрощаем уравнение:

40 = 3^n - 1

Добавляем 1 к обеим сторонам:

41 = 3^n

Теперь возьмем логарифм от обеих сторон:

log(41) = log(3^n)

n * log(3) = log(41)

n = log(41) / log(3)

Вычислим значение n:

n ≈ 3.453

Так как количество членов прогрессии должно быть целым числом, округлим n до ближайшего целого:

n ≈ 3

Таким образом, количество первых членов геометрической прогрессии, сумма которых равна 80, равно 3.