Question

Докажите, что при любом натуральном p значение выражения (3p-4) ^2-p^2 делится на 8

Answer 1

Ответ:8(p^2-3p+2)

Объяснение:

При раскрытие скобок получается 9р^2-24р+16-р^2=8р^2-24р+16= 8(p^2-3p+2), значит выражение кратно 8

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Для этого нужно доказать базовый случай (n = 1) и шаг индукции (предположение, что утверждение верно для n, и доказательство для n + 1).

Базовый случай (n = 1): Для n = 1 имеем:

(3p - 4)^2 - p^2 = (3*1 - 4)^2 - 1^2 = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Значит, при n = 1 выражение равно 0, и 0 действительно делится на 8 (0 = 8 * 0).

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть:

(3k - 4)^2 - k^2 = 8m, где m - некоторое целое число.

Теперь докажем, что оно также верно для k + 1:

(3(k+1) - 4)^2 - (k+1)^2 = (3k + 3 - 4)^2 - (k^2 + 2k + 1) = (3k - 1)^2 - (k^2 + 2k + 1) = 9k^2 - 6k + 1 - k^2 - 2k - 1 (используем предположение индукции) = 8k^2 - 8k = 8(k^2 - k).

Теперь мы видим, что это выражение делится на 8, так как мы можем вынести 8 за скобку:

8(k^2 - k) = 8 * (k(k - 1)).

Поскольку k и (k - 1) являются двумя последовательными натуральными числами, одно из них всегда четное, а значит, произведение k(k - 1) делится на 2. Таким образом, выражение 8 * (k(k - 1)) делится на 8.

Мы доказали, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для k + 1. Таким образом, утверждение верно для всех натуральных чисел, исходя из принципа математической индукции.