Question

Решите неравенство 2cos^2 x-cosx-1>0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(2cos^2 x-cos(x))-1>0

X0=x1-1/10

(2cos^2 x-cos(x))-1>0

-1+(-cos(-1/10)+2cos^2(-1/10))>0

Тогда x<0

Ответ :x>0^x<2π/3, x>4π/3^x<2π

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, давайте представим его как квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$2\cos^2 x - \cos x - 1 > 0$

Теперь давайте введем новую переменную, скажем, $t$, чтобы упростить вычисления. Пусть $t = \cos x$. Тогда неравенство примет вид:

$2t^2 - t - 1 > 0$

Это квадратное уравнение. Чтобы найти значения $t$, при которых оно положительно, мы можем использовать метод интервалов.

1. Начнем с нахождения корней уравнения $2t^2 - t - 1 = 0$:

   $2t^2 - t - 1 = 0$

   Используем квадратное уравнение:

   $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

   Где $a = 2$, $b = -1$, и $c = -1$.

   $t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

   $t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}$

   Таким образом, $t = \frac{1 \pm 3}{4}$:

   • $t_1 = \frac{4}{4} = 1$
   • $t_2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

2. Теперь у нас есть две точки, в которых функция $2t^2 - t - 1$ обращается в ноль: $t_1 = 1$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$. Мы можем использовать эти точки для разбиения числовой оси на интервалы.

   • Интервал 1: $-\infty < t < -\frac{1}{2}$
   • Интервал 2: $-\frac{1}{2} < t < 1$
   • Интервал 3: $t > 1$

3. Теперь выберем по одной точке из каждого интервала и проверим знак выражения $2t^2 - t - 1$ внутри каждого интервала.

   • Для интервала 1, выберем $t = -1$, тогда $2t^2 - t - 1 = 2(-1)^2 - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 - 1 = 1 > 0$.
   • Для интервала 2, выберем $t = 0$, тогда $2t^2 - t - 1 = 2(0)^2 - (0) - 1 = -1 < 0$.
   • Для интервала 3, выберем $t = 2$, тогда $2t^2 - t - 1 = 2(2)^2 - (2) - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$.

Таким образом, неравенство $2\cos^2 x - \cos x - 1 > 0$ выполняется в интервалах $-\infty < x < \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $\arccos(1) < x < \infty$.