Question

Величины углов любого треугольника входят в арифметическую прогрессию. Докажите, что один из них равен 60 градусам.

Answer 1

Если величины углов входят в арифметическую прогрессию, тогда они ровны   х, х+d, x+2d.

Естественно, что  

x+x+d+x+2d=180°

3x+3d=180°

3(x+d)=180°

x+d=60°

Это и есть второй член арифметической прогрессии (x+d), и он равен всегда 60°, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте предположим, что углы треугольника образуют арифметическую прогрессию и не содержат угол в 60 градусов.

Пусть углы треугольника обозначаются как A, B и C, где A < B < C, и B - A = C - B (поскольку они образуют арифметическую прогрессию).

Теперь предположим, что ни один из этих углов не равен 60 градусам. В таком случае:

1. A < 60 (поскольку A не равен 60).
2. B < 60 (поскольку B не равен 60).
3. C < 60 (поскольку C не равен 60).

Сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам. Таким образом, мы можем записать:

A + B + C = 180

Заменим A, B и C с их предполагаемыми значениями:

(A < 60) + (B < 60) + (C < 60) = 180

Поскольку каждое из неравенств A < 60, B < 60 и C < 60 верно, то:

(1) + (1) + (1) = 180

3 = 180

Это утверждение логически неверно, и поэтому наше предположение о том, что ни один из углов не равен 60 градусам, не может быть верным.

Следовательно, хотя бы один из углов треугольника должен быть равен 60 градусам. Таким образом, доказано, что один из углов треугольника равен 60 градусам.