Question

Производная tg^2(1/x^2)

Answer 1

Ответ:

$y = {tg}^{2} ( \frac{1}{ {x}^{2} }) = {tg}^{2} ( {x}^{ - 2} )$

$y' = 2tg( \frac{1}{ {x}^{2} } ) \times \frac{1}{ {cos}^{2}( \frac{1}{ {x}^{2} } ) } \times ( - {x}^{ - 3} ) = - \frac{2tg( \frac{1}{ {x}^{2} } )}{ {x}^{3} {cos}^{2} ( \frac{1}{ {x}^{2} } ) }$

Answer 2

Давайте найдем производную функции $\tan^2\left(\frac{1}{x^2}\right)$ по переменной $x$, используя цепное правило дифференцирования.

1. Сначала найдем производную внешней функции $\tan^2(u)$, где $u = \frac{1}{x^2}$. Используем правило степенной функции и правило дифференцирования $\tan(u)$:

$\frac{d}{du} \left(\tan^2(u)\right) = 2\tan(u) \cdot \frac{d}{du} \left(\tan(u)\right)$

2. Теперь найдем производную внутренней функции $u = \frac{1}{x^2}$. Для этого используем правило дифференцирования $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right)$:

$\frac{d}{du} \left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{dx}{du} = -\frac{2}{x^3} \cdot \frac{d}{dx} \left(x^2\right)$

3. Теперь найдем производную $x^2$ по $x$:

$\frac{d}{dx} \left(x^2\right) = 2x$

4. Теперь подставим все найденные значения обратно в производную внешней функции:

$2\tan\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{x^3} \cdot 2x\right) = -\frac{4\tan\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2}$

Итак, производная функции $\tan^2\left(\frac{1}{x^2}\right)$ по переменной $x$ равна $-\frac{4\tan\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2}$.