Question

Задание 1 (20 баллов). Найти неизвестные тригонометрические функции угла, если ctg α = -√3, а угол α лежит во второй четверти.

Answer 1

Ответ:

sin α =  1/2

cos α = -√3/2

tg α = -√3 /3

Объяснение:

1-способ. Так как ctg α = -√3 и 90°<α<180°, то по таблице значений тригонометрических функций определяем: α = 150°.

Поэтому, по таблице значений тригонометрических функций:

sin α = sin 150° = 1/2

cos α = cos150° = -√3/2

tg α = tg150° = -1/√3 = -√3 /3.

2-способ. Задачу можно решить без табличных значений тригонометрических функций.

Для этого учитываем то, что угол α лежит во второй четверти. В этой четверти cosα < 0 и sinα > 0. Применим известные тригонометрические формулы:

$\tt tg\alpha =\dfrac{1}{ctg\alpha } =\dfrac{1}{-\sqrt{3} } =-\dfrac{\sqrt{3}}{3 } ;$

$\tt 1+tg^2\alpha = \dfrac{1}{cos^2\alpha } \Rightarrow cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+tg^2\alpha } \Rightarrow cos\alpha=-\sqrt{\dfrac{1}{1+tg^2\alpha } } \Rightarrow\\\\\Rightarrow cos\alpha=-\sqrt{\dfrac{1}{1+(-\frac{1}{\sqrt{3} } )^2} } =-\sqrt{\dfrac{1}{1+\frac{1}{3} } } =-\sqrt{\dfrac{3}{4} } =-\dfrac{\sqrt{3} }{2} ;$

$\tt sin^2\alpha =1-cos^2\alpha \Rightarrow sin\alpha =\sqrt{1-cos^2\alpha} \Rightarrow \\\\\Rightarrow sin\alpha = \sqrt{1-(-\frac{\sqrt{3} }{2} )^2} =\sqrt{1-\dfrac{3 }{4} } =\sqrt{\dfrac{1}{4} } =\dfrac{1}{2}.$

Answer 2

Для решения этой задачи мы знаем, что ctg (котангенс) угла α равен -√3 и что угол α лежит во второй четверти.

Сначала найдем тангенс угла α, так как ctg α = 1/tan α:

ctg α = -√3 1/tan α = -√3

Теперь найдем тангенс α:

tan α = -1/√3

Так как угол α лежит во второй четверти, то тангенс должен быть отрицательным. Мы знаем, что во второй четверти все тригонометрические функции кроме тангенса отрицательны. Таким образом, мы знаем, что синус (sin α) и косинус (cos α) угла α во второй четверти отрицательны.

Теперь мы можем использовать определение тангенса как отношения синуса косинуса:

tan α = sin α / cos α

Мы уже знаем, что tan α = -1/√3 и что sin α и cos α отрицательны, поэтому:

sin α = -1 cos α = √3

Итак, тригонометрические функции угла α равны:

sin α = -1 cos α = √3 tan α = -1/√3 ctg α = -√3