Question

Помогите! Срочно нужно! В геометрической прогрессии (bn) известно, что b6-b4= 72, a b5 – b3= 36. а) Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии. b) Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии.

Answer 1

Дано:

$b_6-b_4=72$

$b_5-b_3=36$

Найти  $b_1;$ $q;$  $S_8$

Решение

1)  Применим формулу общего члена геометрической прогрессии  $b_n=b_1q^{n-1}$   к данным уравнениям и получим систему:

    $\left \{ {{b_1q^5-b_1q^3=72} \atop {b_1q^4-b_1q^2=36 }} \right.$

     $\left \{ {{b_1q^3(q^2-1)=72} \atop {b_1q^2(q^2-1)=36 }} \right.$

Делим первое уравнение на второе:

     $\frac{b_1q^3(q^2-1)}{b_1q^2(q^2-1)}=\frac{72}{36}$

      $q=2$

2)   $b_1q^3(q^2-1)=72$  

    $b_1*2^3*(2^2-1)=72$

   $24*b_1=72$

    $b_1=72:24$

    $b_1=3$

3)   $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

      $S_8=\frac{3*(1-2^8)}{1-2}= \frac{3*(1-256)}{-1}= \frac{3*(-255)}{-1}= 765$

      $S_8=765$

Ответ:   $b_1=3$

             $q=2$

             $S_8=765$

Answer 2

Давайте рассмотрим данную геометрическую прогрессию и воспользуемся предоставленными данными:

Пусть первый член геометрической прогрессии будет a, а знаменатель будет q.

a - первый член a * q - второй член a * q^2 - третий член ... a * q^4 - пятый член a * q^5 - шестой член a * q^6 - седьмой член a * q^7 - восьмой член

Теперь мы можем использовать предоставленные данные:

a * q^5 - a * q^3 = 36 (1) (разность пятого и третьего членов) a * q^6 - a * q^4 = 72 (2) (разность шестого и четвертого членов)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений:

Из уравнения (1): a * q^3 * (q^2 - 1) = 36

Из уравнения (2): a * q^4 * (q^2 - 1) = 72

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1):

(a * q^4 * (q^2 - 1)) / (a * q^3 * (q^2 - 1)) = 72 / 36

q = 2

Теперь, когда у нас есть значение q (знаменатель), мы можем найти первый член a, используя уравнение (1):

a * q^3 * (q^2 - 1) = 36

a * 2^3 * (2^2 - 1) = 36

a * 8 * (4 - 1) = 36

a * 8 * 3 = 36

a * 24 = 36

a = 36 / 24

a = 3/2

Таким образом, первый член (a) равен 3/2, а знаменатель (q) равен 2.

Теперь, чтобы найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, используем формулу суммы членов геометрической прогрессии:

Сумма = a * (1 - q^n) / (1 - q)

где n - количество членов, которые мы хотим сложить (в данном случае n = 8).

Сумма = (3/2) * (1 - 2^8) / (1 - 2)

Сумма = (3/2) * (1 - 256) / (-1)

Сумма = (3/2) * (-255) / (-1)

Сумма = (3/2) * 255

Сумма = 382.5

Итак, сумма первых восьми членов геометрической прогрессии равна 382.5.