Question

Помогите с решением. Дифференцируйте функцию y = tg^3(3x) + tgx

Answer 1

$y =\mathrm{tg}^33x +\mathrm{tg}x$

$y'=3\mathrm{tg}^23x\cdot(\mathrm{tg}3x)' +\dfrac{1}{\cos^2x} =3\mathrm{tg}^23x\cdot\dfrac{1}{\cos^23x}\cdot(3x)' +\dfrac{1}{\cos^2x} =$

$=\dfrac{3\mathrm{tg}^23x}{\cos^23x}\cdot3+\dfrac{1}{\cos^2x} =\boxed{\dfrac{9\mathrm{tg}^23x}{\cos^23x}+\dfrac{1}{\cos^2x}}$

Answer 2

Чтобы дифференцировать функцию y = tg^3(3x) + tgx, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule) и правило дифференцирования тангенса.

1. Дифференцирование tg^3(3x): Для этой части функции применим правило дифференцирования сложной функции.

Пусть u = 3x, тогда tg^3(3x) = tg^3(u).

Теперь найдем производную этой части: dy/du = 3tg^2(u) * sec^2(u).

Теперь применим chain rule:

dy/dx = dy/du * du/dx = (3tg^2(u) * sec^2(u)) * 3 = 9tg^2(3x) * sec^2(3x).

2. Дифференцирование tgx: Производная tgx равна sec^2(x).

Итак, теперь мы можем объединить обе части:

dy/dx = 9tg^2(3x) * sec^2(3x) + sec^2(x).

Вот и всё, это производная вашей функции y = tg^3(3x) + tgx.