Question

Розвяжіть нерівність 2^2х+1-5*6^х+3^2х+1≥0

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Для розв'язання цієї нерівності, спробуємо використовувати властивості експонент і квадратів.

Спочатку звернемо увагу на деякі важливі речі:

1. $2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x}$, тобто це можна записати як $2 \cdot (2^2)^x$, а це дорівнює $4^x$.

2. $6^{x+3} = 6^x \cdot 6^3$, тобто це можна записати як $6^x \cdot 216$.

3. $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x}$, що є $3 \cdot (3^2)^x$, і дорівнює $9^x$.

Тепер ми можемо переписати нерівність:

$4^x - 5 \cdot 6^x + 9^x \geq 0$

Тепер зробимо підстановку. Замінимо $6^x$ на $y$. Тоді нерівність виглядає так:

$4^x - 5y + 9^x \geq 0$

Тепер ми маємо квадратну нерівність за змінною $y$:

$4^x + 9^x - 5y \geq 0$

Розв'язуємо цю квадратну нерівність відносно $y$:

$4^x + 9^x - 5y \geq 0$

$4^x + 9^x \geq 5y$

$y \leq \frac{4^x + 9^x}{5}$

Тепер замінимо $y$ назад на $6^x$:

$6^x \leq \frac{4^x + 9^x}{5}$

Це є остаточною формою нерівності. Щоб розв'язати це рівняння, вам може знадобитися використовувати числові методи, такі як метод ділення на пів, бо це не легко вирішуваний рівняння аналітично.