Question

Промежутки возрастания и убывания функции y=2x^3-3x^2-36x+40​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$y=2x^3-3x^2-36x+40\\\\y'=6x^2-6x-36=6(x^2-x-6)$

Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к 0.

$y'=0\\x^2-x-6=0\\\\x_{1,2}=\frac{1^+_-\sqrt{1+24} }{2}=\frac{1^+_-5}{2}\\x_1=3;\;\;\;x_2=-2\\\\(x-3)(x+2)=0\\+++++(-2)-----(3)+++++$

Если производная положительна, функция возрастает. Если производная отрицательна, функция убывает.

⇒Возрастает при х∈(-∞;-2)∪(3;+∞)

Убывает при (-2;3)

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40 сначала нужно найти её производную и найти точки, в которых производная равна нулю. Затем можно использовать тест знаков производной для определения изменения знака производной на различных интервалах.

1. Найдем производную функции: y'(x) = 6x^2 - 6x - 36.

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: 6x^2 - 6x - 36 = 0.

Для упрощения уравнения, мы можем поделить его на 6: x^2 - x - 6 = 0.

Это уравнение квадратное и может быть решено с помощью квадратного уравнения или факторизации: (x - 3)(x + 2) = 0.

Отсюда получаем две корни: x1 = 3 и x2 = -2.

3. Теперь используем тест знаков производной, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции на числовой оси. Для этого выберем тестовые точки между корнями и за пределами корней.

a) Выберем x = -3 (меньше x2 = -2): Подставим в производную: y'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 (положительное число).

b) Выберем x = 0 (между корнями): Подставим в производную: y'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36 (отрицательное число).

c) Выберем x = 1 (между корнями): Подставим в производную: y'(1) = 6(1)^2 - 6(1) - 36 = 6 - 6 - 36 = -36 (отрицательное число).

d) Выберем x = 4 (больше x1 = 3): Подставим в производную: y'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 (положительное число).

Теперь, исходя из теста знаков производной:

• Функция убывает на интервале (-∞, -2).
• Функция возрастает на интервале (-2, 3).
• Функция убывает на интервале (3, +∞).

Итак, промежутки возрастания и убывания функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40 следующие:

• Возрастание на интервале (-2, 3).
• Убывание на интервалах (-∞, -2) и (3, +∞).