Question

Знатоки математики! Нужна помощь, 11 клЗапишите уравнение касательных к графику функции y =f(x)=4^x - 2^x+1, проходящую через точку графика, в которой функция достигает минимума​

Answer 1

Ответ: y=3/4.

Объяснение:

Находим производную: y'=4^x*ln(4)-2^x*ln(2)=2*(2^x)²*ln(2)-2^x*ln(2)=2^x*ln(2)*[2*2^x-1]. Приравнивая её к нулю и учитывая, что 2^x*ln(2)≠0, получаем уравнение 2*2^x-1=2^(x+1)-1=0, или 2^(x+1)=1. Отсюда x+1=log₂1=0 и x=-1 -  единственная критическая точка. Если x<-1, то y'<0; если x>-1, то y'>0. Значит, точка x=-1 является точкой минимума. Подставляя x=-1 в выражение для функции, находим y(-1)=4^(-1)-2^(-1)+1=3/4. А так как касательная в точке минимума параллельна оси абсцисс, то её уравнением является y=3/4.

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x) = 4^x - 2^{x+1}$, проходящей через точку на графике, в которой функция достигает минимума, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$.
2. Найдите точку, в которой производная равна нулю, так как это будет точкой, в которой функция имеет минимум.
3. Найдите значение функции в этой точке, чтобы получить $y$-координату точки минимума.

Давайте начнем с первого шага, находя производную функции $f(x)$:

$f(x) = 4^x - 2^{x+1}$

Используем правило степеней:

$f'(x) = \ln(4) \cdot 4^x - \ln(2) \cdot 2^{x+1}$

Теперь найдем точку, в которой производная равна нулю:

$0 = \ln(4) \cdot 4^x - \ln(2) \cdot 2^{x+1}$

$0 = 4^x(\ln(4) - \ln(2) \cdot 2)$

Теперь решим уравнение $4^x(\ln(4) - \ln(2) \cdot 2) = 0$ для $x$:

$4^x(\ln(4) - \ln(2) \cdot 2) = 0$

Так как $\ln(4) - \ln(2) \cdot 2$ не равно нулю (это положительное значение), решением этого уравнения будет только один ноль: $x = 0$.

Теперь найдем значение функции $f(x)$ в точке $x = 0$, чтобы получить $y$-координату точки минимума:

$f(0) = 4^0 - 2^{0+1} = 1 - 2 = -1$

Итак, точка минимума функции $f(x)$ находится в точке $(0, -1)$.

Теперь у нас есть координаты точки минимума: $(0, -1)$. Для уравнения касательной используем формулу:

$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$

Где $(x_0, y_0)$ - координаты точки минимума $(0, -1)$, а $f'(x_0)$ - значение производной в этой точке.

Подставим значения:

$y + 1 = (\ln(4) \cdot 4^0 - \ln(2) \cdot 2^{0+1})(x - 0)$

$y + 1 = (\ln(4) - 2\ln(2))x$

Теперь можно записать окончательное уравнение касательной:

$y = (\ln(4) - 2\ln(2))x - 1$

Итак, уравнение касательной к графику функции $y = f(x) = 4^x - 2^{x+1}$, проходящей через точку минимума $(0, -1)$, имеет вид:

$y = (\ln(4) - 2\ln(2))x - 1$