Question

Даю 40 баллов. Решите биквадратное уравнение: x^6+4x^4-x^2-4=0

Answer 1

Ответ:

±1

Объяснение:

x^6+4x^4-x^2-4=0

x^4(x^2+4)-(x^2+4)=0

x^4(x^2+4)-1(x^2+4)=0

(x^4-1)(x^2+4)=0

x^4-1=0

(x^2-1)(x^2+1)=0

x^2-1=0

x^2=1

x=±1

x^2+1=0

x∈∅ в действительных корнях.

x^2+4=0

x^2=-4

x∈∅ в действительных корнях.

Answer 2

Для решения биквадратного уравнения $x^6 + 4x^4 - x^2 - 4 = 0$ мы можем воспользоваться заменой переменной. Давайте обозначим $y = x^2$, тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

$y^3 + 4y^2 - y - 4 = 0$

Это уравнение уже можно решить. Для начала, давайте попробуем найти один из его корней. Поиск корней - это часто дело проб и ошибок, но мы можем попробовать некоторые значения $y$ и проверить, равно ли уравнение нулю при них. Для этого используем метод подбора:

1. Подставим $y = 1$:

$1^3 + 4 \cdot 1^2 - 1 - 4 = 1 + 4 - 1 - 4 = 0$

У нас есть один корень $y = 1$.

Теперь мы можем разделить исходное уравнение на $y - 1$ с использованием синтетического деления:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 4 & -1 & -4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Итак, у нас есть разложение уравнения $y^3 + 4y^2 - y - 4 = 0$ в виде:

$(y - 1)(y^2 + 5y + 4) = 0$

Теперь давайте решим квадратное уравнение $y^2 + 5y + 4 = 0$:

$(y + 1)(y + 4) = 0$

Отсюда получаем два дополнительных корня: $y = -1$ и $y = -4$.

Теперь мы можем вернуться к переменной $x$ и найти корни исходного биквадратного уравнения:

1. $y = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
2. $y = -1 \Rightarrow x^2 = -1$ - нет решений в вещественных числах.
3. $y = -4 \Rightarrow x^2 = -4$ - нет решений в вещественных числах.

Итак, у нас есть два вещественных корня: $x = 1$ и $x = -1$.