Question

Помогите пожалуйста!!! Вычислите площадь фигуры ограниченной параболой у=-х²+4х-3, касательной к параболе в точке М(0;-3) и прямой х=2

Answer 1

Ответ:

$\frac{8}{3}$

Объяснение:

Площадь указанной фигуры находится по формуле Ньютона-Лейбница с непосредственным участием первообразных.

Касательная и парабола касаются в точке (0; -3), значит, касательная имеет вид y = 4x-3 (смотри чертеж).

Для данных кривых фигура имеет три общие точки: точка касания (0; -3), точка пересечения параболы и х=2 - точка (2; 9) и точка пересечения прямой y=4x-3 и прямой х=2 - точка (2; 5).

Имеем

$S=\int\limits^2_0 {(x^{2}+4x-3)-(4x-3) } \, dx =\int\limits^2_0 {x^{2}+4x-3-4x+3 } \, dx =$

$=\int\limits^2_0 {x^{2} } \, dx =\frac{x^{3} }{3} |_{0} ^{2} =F(2)-F(0)=\frac{2^{3} }{3}-\frac{0^{3} }{3} =\frac{8}{3}$.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = -x² + 4x - 3, прямой x = 2 и касательной к параболе в точке M(0, -3), вам нужно сначала найти точки пересечения параболы, прямой и касательной. Затем вы можете найти площадь между ними.

1. Начнем с уравнения параболы: y = -x² + 4x - 3

2. Теперь найдем уравнение касательной к параболе в точке M(0, -3). Для этого найдем производную функции и вычислим ее значение в точке M: y' = -2x + 4

   y'(0) = -2 * 0 + 4 = 4

   Уравнение касательной в точке M будет иметь вид: y = 4x - 3

3. Прямая x = 2 вертикальная и проходит через точку (2, -3).

4. Теперь нам нужно найти точки пересечения параболы, прямой и касательной. Подставим x = 2 в уравнение касательной и параболы:

   Для касательной: y = 4 * 2 - 3 = 8 - 3 = 5

   Для параболы: y = -(2)² + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1

5. Теперь у нас есть точки пересечения:

   • Точка A(2, 5) - точка пересечения прямой и касательной.
   • Точка B(2, 1) - точка пересечения прямой и параболы.

6. Теперь найдем площадь между этими точками. Это будет прямоугольник со сторонами 2 (ширина) и |5 - 1| = 4 (высота). Площадь прямоугольника равна:

   Площадь = 2 * 4 = 8

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной параболой, касательной и прямой, равна 8 квадратным единицам.