Question

Эти задания помогут попасть мне на ЕГЭ, это очень важно! 1.Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=0,5x^2+2, касательной к этому графику в точке с абсциссой x=-2 и прямой x=0 2.Докажите, что F(x)=x^4-3sin x яв-ся первообразной для f(x)=4x^3-3cos x 3.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=1-x^3, y=0, x=-1

Answer 1

Смотреть во вложении

Answer 2

1. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиком функции

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции, касательной к этому графику в заданной точке и прямой, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точку пересечения графика функции y=0,5x^2+2 с прямой x=0. Для этого подставим x=0 в уравнение функции и решим его:

y = 0,5(0)^2 + 2 = 2

Таким образом, точка пересечения графика функции с прямой x=0 имеет координаты (0, 2).

2. Найти точку касания касательной к графику функции в заданной точке. Для этого найдем производную функции y=0,5x^2+2 и подставим x=-2:

y' = 0,5 * 2x = x

Подставляем x = -2:

y' = 0,5 * 2 * (-2) = -2

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке x=-2 равен -2.

Точка касания имеет координаты (-2, f(-2)), где f(-2) - значение функции в точке x=-2.

Подставляем x=-2 в уравнение функции:

f(-2) = 0,5(-2)^2 + 2 = 0,5 * 4 + 2 = 4 + 2 = 6

Таким образом, точка касания имеет координаты (-2, 6).

3. Найти точку пересечения графика функции с осью ординат. Для этого решим уравнение y=0:

0,5x^2 + 2 = 0

0,5x^2 = -2

x^2 = -4

Уравнение не имеет действительных решений, поэтому график функции не пересекает ось ординат.

4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции, касательной и прямой. Для этого нужно вычислить интеграл функции между соответствующими пределами и вычесть интеграл прямой:

S = ∫[a,b] f(x) dx - ∫[a,b] g(x) dx,

где f(x) - функция, ограничивающая фигуру, g(x) - прямая, a и b - соответствующие пределы интегрирования.

В данном случае f(x) = 0,5x^2 + 2, g(x) = 0 и a = -2, b = 0.

S = ∫[-2,0] (0,5x^2 + 2) dx - ∫[-2,0] 0 dx

S = ∫[-2,0] 0,5x^2 + 2 dx

S = [0,5 * (x^3)/3 + 2x]_(-2)^0

S = (0,5 * (0^3)/3 + 2 * 0) - (0,5 * (-2^3)/3 + 2 * -2)

S = (0 - (0,5 * (-8)/3 + 2 * -2)

S = (0 - (-4/3 - 4)

S = 4/3 + 4

S = 16/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=0,5x^2+2, касательной в точке x=-2 и прямой x=0, равна 16/3.

2. Доказательство F(x) как первообразной для f(x)

Для доказательства, что функция F(x) = x^4 - 3sin(x) является первообразной для функции f(x) = 4x^3 - 3cos(x), нужно выполнить следующие шаги:

1. Взять производную функции F(x) и проверить, равна ли она функции f(x):

F'(x) = (x^4 - 3sin(x))' = 4x^3 - 3cos(x)

Получили, что производная функции F(x) равна функции f(x).

2. Таким образом, функция F(x) является первообразной для функции f(x).

Доказательство заключается в проверке равенства производных функций F(x) и f(x). Если они равны, то F(x) является первообразной для f(x).

3. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=1-x^3, y=0 и x=-1, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения линии y=1-x^3 с осями ординат и абсцисс. Для этого решим уравнения:

Для точки пересечения с осью ординат, y=0:

1-x^3 = 0

x^3 = 1

x = 1

Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты (1, 0).

Для точки пересечения с осью абсцисс, x=0:

y = 1-0^3 = 1

Таким образом, точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты (0, 1).

2. Найти площадь фигуры ограниченной линиями. Для этого нужно вычислить интеграл функции между соответствующими пределами:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) и g(x) - функции, ограничивающие фигуру, a и b - соответствующие пределы интегрирования.

В данном случае, f(x) = 1-x^3, g(x) = 0 и a = -1, b = 1.

S = ∫[-1,1] (1-x^3 - 0) dx

S = ∫[-1,1] (1-x^3) dx

S = [x - (x^4)/4]_(-1)^1

S = (1 - (1^4)/4) - ((-1) - ((-1)^4)/4)

S = (1 - 1/4) - (-1 - 1/4)

S = (3/4) - (-5/4)

S = 8/4

S = 2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=1-x^3, y=0 и x=-1, равна 2.