Question

∫ (11^x-1)/(11^x+1). Помогите, пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{ {11}^{x} - 1}{ {11}^{x} + 1} dx$

замена:

${11}^{x} = t \\ ln(11) \times {11}^{x} dx = dt \\ dx = \frac{dt}{t \times ln(11) }$

$\int\limits \frac{t - 1}{t + 1} \times \frac{dt}{ ln(11) \times t} = \frac{1}{ ln(11) } \int\limits \frac{t - 1}{t(t + 1)} dt$

с помощью неопределенных коэффициентов:

$\frac{t - 1}{t(t + 1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1} \\ t - 1 = A(t + 1) + Bt \\ t - 1 = At + A + Bt$

система:

$1 = A + B \\ - 1 = A \\ \\ A = - 1 \\ B = 1 - A = 2$

получаем:

$\int\limits \frac{( - 1)dt}{t} + \int\limits \frac{2dt}{t + 1} = \\ = - ln(t) + 2 ln(t + 1) + c = \\ = ln( \frac{ {(t + 1)}^{2} }{t} ) + c = \\ = ln( \frac{ {( {11}^{x} + 1)}^{2} }{ {11}^{x} } ) + c$

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫ (11^x - 1) / (11^x + 1) сначала проведем небольшую замену переменной. Пусть t = 11^x, тогда dt/dx = ln(11) * 11^x. Теперь давайте выразим dx через dt:

dx = (1 / (ln(11) * t)) dt

Теперь мы можем переписать интеграл в терминах t:

∫ (1 - 1/t) * (1 / (ln(11) * t)) dt

= (1 / ln(11)) * ∫ (1 - 1/t) * (1/t) dt

= (1 / ln(11)) * ∫ (1/t - 1/t^2) dt

Теперь давайте проинтегрируем каждую из частей по отдельности:

∫ (1/t - 1/t^2) dt = ∫ (1/t) dt - ∫ (1/t^2) dt

Интеграл ∫ (1/t) dt равен ln|t|, а интеграл ∫ (1/t^2) dt равен -1/t.

Теперь подставим обратно t = 11^x:

(1 / ln(11)) * (ln|11^x| + 1/(11^x)) + C

Теперь мы можем упростить это выражение:

(1 / ln(11)) * (x * ln(11) + 1/(11^x)) + C

= x + (1 / ln(11) * (1/(11^x))) + C

Итак, интеграл ∫ (11^x - 1) / (11^x + 1) равен:

x + (1 / ln(11) * (1/(11^x))) + C

где C - произвольная постоянная.