Question

4. На рисунке задан прямоугольный треугольник с катетами в 4 и 5 единичных отрезка. В заданный треугольник вписаны прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке. При этом гипотенузы полученных треугольников проходят через середины катетов предыдущих треугольников. Процесс продолжается до бесконечности. Чему равна сумма площадей всех треугольников? ​

Answer 1

Ответ:

сумма площадей всех треугольников будет равна площади главного треугольника в который они вписаны

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте начнем с расчета площади первого вписанного треугольника, который будет подобным исходному прямоугольному треугольнику.

Исходный прямоугольный треугольник имеет катеты 4 и 5 единичных отрезков, что дает нам площадь исходного треугольника:

Площадь исходного треугольника = (половина произведения катетов) / 2 = (4 * 5) / 2 = 10 квадратных единиц.

Теперь, как было указано в задаче, мы вписываем в этот треугольник новый треугольник, подобный исходному. Гипотенуза этого нового треугольника проходит через середины катетов исходного треугольника. Значит, отношение сторон нового треугольника к сторонам исходного будет такое же, как отношение сторон исходного катета.

Для нового треугольника это будет (4/5) катета и (3/5) катета исходного треугольника. Таким образом, площадь нового треугольника будет:

Площадь нового треугольника = (половина произведения катетов) / 2 = (4/5 * 3/5 * 10) / 2 = (12/25 * 10) / 2 = 24/5 квадратных единиц.

Теперь мы можем продолжать этот процесс бесконечно, вписывая все более маленькие и подобные треугольники в предыдущие.

Сумма площадей всех треугольников будет равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 10 и знаменателем 24/5:

Сумма = 10 + (10 * 24/5) + (10 * 24/5)^2 + ... = 10 + 48 + 48 * (24/5) + 48 * (24/5)^2 + ...

Для расчета этой бесконечной геометрической прогрессии можно использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Сумма = a / (1 - r),

где "a" - первый член прогрессии (10), "r" - знаменатель прогрессии (24/5).

Сумма = 10 / (1 - 24/5) = 10 / (1/5) = 10 * 5 = 50 квадратных единиц.

Итак, сумма площадей всех треугольников равна 50 квадратным единицам.