Question

Дана последовательность 1\2; 1\5; 1\10; 1\17 а) запишите формулу общего члена последовательности. б) напишите следующие два члена последовательности . с) ученик утверждает , что 1\226 является членом данной последовательности. прав ли ученик ? обоснуйте свой ответПОМОГИТЕ СРОЧНО ДАЮ 40 БАЛЛОВ​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{1}{5}\ ;\ \dfrac{1}{10}\ ;\ \dfrac{1}{17}\ ;\ ...\\\\a)\ \ a_{n}=\dfrac{1}{n^2+1}\\\\b)\ \ \dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{1}{5}\ ;\ \dfrac{1}{10}\ ;\ \dfrac{1}{17}\ ;\ \dfrac{1}{26}\ ;\ \dfrac{1}{37}\ ;\ \dfrac{1}{50}\ ;\ ... \\\\c)\ \ \dfrac{1}{226}=\dfrac{1}{n^2+1}\ \ \Rightarrow \ \ \ n^2+1=226\ \ ,\ \ n^2=225\ \ ,\ \ n=15$

Ученик прав, число 1/226 является 15-тым членом заданной последовательности .

Answer 2

а) Формула общего члена последовательности: $a_n = \frac{1}{n(3n-1)},$ где $n$ - номер члена последовательности.

б) Чтобы найти следующие два члена последовательности, мы должны увеличить номер $n$ на 1 и 2 соответственно:

Член 3: $a_3 = \frac{1}{3(3\cdot3-1)} = \frac{1}{3(9-1)} = \frac{1}{3\cdot8} = \frac{1}{24}.$

Член 4: $a_4 = \frac{1}{4(3\cdot4-1)} = \frac{1}{4(12-1)} = \frac{1}{4\cdot11} = \frac{1}{44}.$

Таким образом, следующие два члена последовательности - $\frac{1}{24}$ и $\frac{1}{44}$.

в) Чтобы проверить, является ли $\frac{1}{226}$ членом данной последовательности, мы должны найти такое натуральное число $n$, что $a_n = \frac{1}{226}$. Для этого мы используем формулу общего члена:

$\frac{1}{n(3n-1)} = \frac{1}{226}.$

Мы можем умножить обе стороны на $226n$ и решить уравнение:

$226n = n(3n-1).$

Раскроем скобки:

$226n = 3n^2 - n.$

Подведем все к одной стороне и получим квадратное уравнение:

$3n^2 - n - 226n = 0.$

$3n^2 - 227n = 0.$

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант $D = (-227)^2 - 4\cdot3\cdot0 = 51529.$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

$n_1 = \frac{-(-227) + \sqrt{51529}}{2\cdot3} \approx 75.52,$

$n_2 = \frac{-(-227) - \sqrt{51529}}{2\cdot3} \approx -38.19.$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, то отбросим отрицательный корень и округлим положительный корень вниз до ближайшего целого числа:

$n = 75$.

Теперь, проверим значение $a_{75}$:

$a_{75} = \frac{1}{75(3\cdot75-1)} = \frac{1}{75(225-1)} = \frac{1}{75\cdot224} \approx \frac{1}{16800}.$

Как видите, значение $a_{75}$ не равно $\frac{1}{226}$, поэтому ученик неправильно утверждает, что $\frac{1}{226}$ является членом данной последовательности.