Question

Докажите, что уравнение 2sinx-3cos2x=6 не имеет корней​

Answer 1

2sinx-3(1-2sin^2x)=6
2sinx-3+6sin^2x-6=0
2sinx-9+6sin^2x=0
если подставить замену:sinx=t
то через дискриминант поймём, что D<0, поэтому не имеет корней

Answer 2

Для того чтобы доказать, что уравнение 2sin(x) - 3cos(2x) = 6 не имеет корней, мы можем воспользоваться графическим методом или аналитическим методом.

1. Графический метод: Мы можем построить графики функций y = 2sin(x) и y = 3cos(2x) + 6 и увидеть, пересекаются ли они.

График функции y = 2sin(x) представляет собой синусоиду, которая колеблется между значениями -2 и 2.

График функции y = 3cos(2x) + 6 представляет собой косинусоиду, смещенную вверх на 6 единиц и масштабированную вдвое. Это означает, что она колеблется между значениями 3 и 9.

Теперь, если мы нарисуем графики обеих функций на одном графике, то увидим, что они не пересекаются. Это графическое доказательство того, что уравнение 2sin(x) - 3cos(2x) = 6 не имеет корней.

2. Аналитический метод: Давайте попробуем решить уравнение аналитически.

Уравнение: 2sin(x) - 3cos(2x) = 6

Перепишем выражение для косинуса двойного угла: 2sin(x) - 3(2cos^2(x) - 1) = 6

Раскроем скобки: 2sin(x) - 6cos^2(x) + 3 = 6

Теперь преобразуем уравнение: -6cos^2(x) + 2sin(x) - 3 = 6

Переносим 6 на правую сторону: -6cos^2(x) + 2sin(x) - 3 - 6 = 0

-6cos^2(x) + 2sin(x) - 9 = 0

Теперь мы видим квадратное уравнение относительно косинуса и синуса. Однако даже после его решения мы увидим, что оно не имеет корней. Это можно показать, например, с помощью дискриминанта.

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac. В нашем случае: a = -6, b = 2, c = -9

D = 2^2 - 4(-6)(-9) = 4 - 216 = -212

Дискриминант отрицателен, что означает, что уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, уравнение 2sin(x) - 3cos(2x) = 6 не имеет корней.