Question

Знайти область значень функції y = arcsin (0,5 + x2).Помогите! ​

Answer 1

Ответ:

$y=arcsin(0,5+x^2)\\\\-\dfrac{\pi}{2} \leq y\leq \dfrac{\pi}{2} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ E(y)=[\, -\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\ ]\\\\\\\\P.S.\ \ -1\leq 0,5+x^2\leq 1\ \ ,\ \ -1,5\leq x^2\leq 0,5\ \ ,\ x^2-\dfrac{1}{2}\leq 0\ ,\\\\x\in (-\dfrac{1}{\sqrt2}\ ;\ \dfrac{1}{\sqrt2}\ )\ \ ,\ \ \ D(y)= (-\dfrac{1}{\sqrt2}\ ;\ \dfrac{1}{\sqrt2}\ )$

Answer 2

Щоб знайти область значень функції $y = \arcsin(0.5 + x^2)$, спробуйте врахувати, що область значень оберненої синус-функції $y = \arcsin(x)$ обмежена від -π/2 до π/2. Тобто $y$ буде лежати в діапазоні від -π/2 до π/2.

У цьому випадку, $0.5 + x^2$ буде аргументом функції $\arcsin$. Оскільки $\arcsin$ приймає аргументи від -1 до 1, вам потрібно переконатися, що $0.5 + x^2$ також буде в цьому діапазоні:

-1 ≤ 0.5 + x^2 ≤ 1

Тепер розв'яжемо нерівності:

1. -1 ≤ 0.5 + x^2

Віднімаємо 0.5 від обох боків:

-1.5 ≤ x^2

Тепер візьмемо квадратний корінь обох сторін:

√(-1.5) ≤ |x|

Оскільки квадратний корінь з від'ємного числа є комплексним числом, то нас цікавлять тільки дійсні значення $x$. Отже, область значень $x$ буде порожньою, і функція $y = \arcsin(0.5 + x^2)$ не має дійсних значень.