Question

Помогите пожалюстааа 3 sin2 x - 4 sin x cos x + cos2 x = 0

Answer 1

$3\sin^2x - 4\sin x\cos x + \cos^2x = 0$

Перед нами тригонометрическое однородное уравнение 2 степени. Разделим обе части уравнения на $\cos^2x\neq 0$, получаем:

$\dfrac{3\sin^2x}{\cos^2x} - \dfrac{4\sin x\cos x}{\cos^2x} + \dfrac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0\\\\\\3tg^2x - \dfrac{4\sin x}{\cos x} + 1 = 0\\\\\\3tg^2x - 4tgx + 1 = 0$

Введём замену:  $t = tgx$.

$3t^2 - 4t + 1 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4\cdot 3\cdot 1 = 16 - 12 = 4\\\\\\t_{1} = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-(-4) + 2}{2\cdot 3} = \dfrac{4+2}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\\\\\\t_{2} = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-(-4)-2}{2\cdot 3} = \dfrac{4-2}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

Обратная замена:

$\left[\begin{gathered}tgx = 1\\\\tg x = \dfrac{1}{3}\\\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k\\\\x = arctg\dfrac{1}{3} + \pi k\\\end{gathered}\ \ \ \ ,\ k\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение 3sin^2(x) - 4sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0. Сначала мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить это уравнение:

3sin^2(x) - 4sin(x)cos(x) + cos^2(x) = sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) - 6sin(x)cos(x) = (sin(x) + cos(x))^2 - 6sin(x)cos(x) = (sin(x) + cos(x))^2 - 3sin(2x) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение. Заметим, что если (sin(x) + cos(x))^2 = 3sin(2x), то это уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно sin(x) + cos(x):

(sin(x) + cos(x))^2 - 3sin(2x) = 0

Пусть t = sin(x) + cos(x), тогда мы можем переписать уравнение:

t^2 - 3(2t(1-t)) = t^2 - 6t(1-t) = t^2 - 6t + 6t^2 = 7t^2 - 6t = t(7t - 6) = 0

Теперь у нас есть два возможных случая:

1. t = 0
2. 7t - 6 = 0

Давайте рассмотрим каждый случай:

1. Если t = 0, то sin(x) + cos(x) = 0. Мы можем решить это уравнение, используя тригонометрические идентичности:

   sin(x) + cos(x) = 0 sin(x) = -cos(x) tan(x) = -1 x = arctan(-1) + kπ, где k - целое число

2. Если 7t - 6 = 0, то t = 6/7. Мы уже знаем, что t = sin(x) + cos(x), поэтому:

   sin(x) + cos(x) = 6/7

Теперь у нас есть два уравнения для решения:

1. x = arctan(-1) + kπ, где k - целое число
2. sin(x) + cos(x) = 6/7

Это даст вам значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению 3sin^2(x) - 4sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0.