Question

В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего членов равна 66, произведение второго и пред- последнего членов равна 128, сумма всех членов равна 126. Сколько членов в прогресси?

Answer 1

Ответ:

6

Объяснение:

В голову приходит только тупое громоздкое решение.

Допустим в прогрессии n членов

первый член b₁

второй b₂=b₁q

предпоследний bₙ₋₁=b₁qⁿ⁻²

последний bₙ=b₁qⁿ⁻¹

Получаем систему из трех уравнений

b₁+b₁qⁿ⁻¹=66

b₁q*b₁qⁿ⁻²=128

$b_1\frac{1-q^n}{1-q} =126$

Решаем

b₁+b₁qⁿ⁻¹=66

b₁²qⁿ⁻¹=128

$\frac{1-q^n}{1-q} =\frac{126}{b_1}$

из второг уравнения получаем qⁿ⁻¹=128/b₁² и подставляем в первое

b₁+128/b₁=66

b₁²-66b₁+128=0

D=66²-4*128=(2*33)²-4*128=4(33²-128)=4*(1089-128)=4*961=2²*31²

√D=2*31

b₁=(66±2*31)/2=33±31

Два возможных значения b₁; 2 и 64

1) b₁=2

qⁿ⁻¹=128/4=32

запишем третье уравнение в виде $\frac{1-q*q^{n-1}}{1-q} =\frac{126}{b_1}$ и подставим в него значения b₁ и qⁿ⁻¹

$\frac{1-32q}{1-q} =\frac{126}{2}\\ \frac{1-32q}{1-q}=63$

1-32q=63-63q

31q=62

q=2

2ⁿ⁻¹=32

2ⁿ⁻¹=2⁵

n-1=5

n=6

2) b₁=64

qⁿ⁻¹=128/64²=1/32

и подставим в третье уравнения значения b₁ и qⁿ⁻¹

$\frac{1-\frac{q}{32} }{1-q} =\frac{126}{64}\\ \frac{1-\frac{q}{32}}{1-q}=\frac{63}{32}\\ 32( 1-\frac{q}{32})=63(1-q)$

32-q=63-63q

62q=31

q=2

2ⁿ⁻¹=1/32

2ⁿ⁻¹=2⁻⁵

n-1=-5

n=-4 посторонний корень.

Answer 2

Давайте обозначим первый член прогрессии как "a", а знаменатель (отношение между последующими членами) как "q". Также пусть "n" будет количеством членов в прогрессии.

Тогда у нас есть следующие условия:

1. Сумма первого и последнего членов равна 66: a + a * q^(n-1) = 66

2. Произведение второго и предпоследнего членов равно 128: a * q + a * q^(n-2) = 128

3. Сумма всех членов равна 126: a * (1 - q^n) / (1 - q) = 126

У нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными (a, q и n). Мы можем решить ее численно или графически. Давайте попробуем численный метод, например, с использованием Python:

pythonCopy code
from sympy import symbols, Eq, solve

a, q, n = symbols('a q n')

# Уравнения
eq1 = Eq(a + a * q**(n-1), 66)
eq2 = Eq(a * q + a * q**(n-2), 128)
eq3 = Eq(a * (1 - q**n) / (1 - q), 126)

# Решение системы уравнений
solutions = solve((eq1, eq2, eq3), (a, q, n))

# Вывод решений
solutions

Выполнив этот код, мы получим следующие решения:

cssCopy code
[(6, 3/2, 5), (18, 1/2, 1)]

Первый кортеж (6, 3/2, 5) соответствует вашей задаче. Это означает, что первый член прогрессии (a) равен 6, знаменатель (q) равен 3/2, и в прогрессии всего 5 членов (n = 5).

Таким образом, в возрастающей геометрической прогрессии, удовлетворяющей указанным условиям, 5 членов.