Question

Для функции f(x) выполняется тождество f(x+1)=f(x)+x при всех целых x . Известно, что f(1000)=1 . Найдите f(2021).​

Answer 1

$f(2021)=f(2020)+2020$

Найдем f(2020):

$f(2020)=f(2019)+2019$

Тогда преобразуем выражение для f(2021):

$f(2021)=f(2019)+2019+2020$

Найдем f(2019):

$f(2019)=f(2018)+2018$

Тогда еще преобразуем выражение для f(2021):

$f(2021)=f(2018)+2018+2019+2020$

Рассуждая аналогично, получим:

$f(2021)=f(1000)+1000+1001+1002+...+2020$

Найдем сумму $1000+1001+1002+...+2020$ как сумму первых $(2020-1000+1)$ членов арифметической прогрессии с первым членом 1000 и последним членом 2020:

$S=\dfrac{1000+2020}{2} \cdot(2020-1000+1)=1541710$

Найдем ответ:

$f(2021)=f(1000)+S=1+1541710=1541711$

Ответ: 1541711

Answer 2

Давайте воспользуемся данной информацией и рекуррентным соотношением, чтобы найти f(2021).

Из условия известно, что f(x+1) = f(x) + x для всех целых x.

Мы начнем с x = 1000 и будем последовательно увеличивать x до 2020, используя данное тождество. В каждом шаге мы будем добавлять к результату значение x:

1. f(1000+1) = f(1000) + 1000 = 1 + 1000 = 1001
2. f(1001+1) = f(1001) + 1001 = 1001 + 1001 = 2002
3. f(1002+1) = f(1002) + 1002 = 2002 + 1002 = 3004

И так далее, продолжаем этот процесс до x = 2020:

19. f(2019+1) = f(2019) + 2019 = 2019 + 2019 = 4038
20. f(2020+1) = f(2020) + 2020 = 4038 + 2020 = 6058

Теперь у нас есть значение f(2020), которое равно 6058.

Используя данное тождество, мы можем найти f(2021):

f(2021) = f(2020+1) = f(2020) + 2020 = 6058 + 2020 = 8078

Итак, f(2021) равно 8078.