Question

Найти длину большей оси эллипсоида 36x(2)+4y(2)+16z(2)=72x−16y+92

Answer 1

Ответ:

Приведём уравнение к каноническому виду.

$36x^2+4y^2+16z^2=72x-16y+92\\\\36(x^2-2x)+4(y^2+4y)+16z^2=92\\\\36\Big((x-1)^2-1\Big)+4\Big((y+2)^2-4\Big)+16z^2=92\\\\36(x-1)^2-36+4(y+2)^2-16+16z^2=92\\\\36(x-1)^2+4(y+2)^2+16z^2=92+36+16\\\\36(x-1)^2+4(y+2)^2+16z^2=144\ \Big|:144\\\\\dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{(y+2)^2}{36}+\dfrac{z^2}{9}=1\\\\a^2=4\ \ ,\ \ b^2=36\ \ ,\ \ c^2=9\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a=2\ \ ,\ \ b=6\ \ ,\ \ c=3$

Длина бОльшей оси эллипсоида равна   $2b=12$  .

Answer 2

Для найти длину большей оси эллипсоида, нам нужно преобразовать уравнение эллипсоида в каноническую форму и определить полуоси. Уравнение эллипсоида имеет следующий вид:

$36x^2 + 4y^2 + 16z^2 = 72x - 16y + 92$

Для начала, давайте перенесем все члены на одну сторону уравнения и разделим на 72:

$36x^2 - 72x + 4y^2 + 16z^2 + 16y - 92 = 0$

Теперь мы разделим оба выражения на 4, чтобы упростить уравнение:

$9x^2 - 18x + y^2 + 4z^2 + 4y - 23 = 0$

Теперь выразим $x$, $y$ и $z$:

$9(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + 4z^2 = 23$

Теперь давайте завершим квадратное выражение для $x$ и $y$, добавляя и вычитая нужные константы:

$9(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + 4z^2 = 23 + 9 + 4$

Теперь можно записать уравнение эллипсоида в следующем виде:

$9(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 4z^2 = 36$

Теперь у нас есть уравнение эллипсоида в канонической форме:

$\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{36} + \frac{z^2}{9} = 1$

Теперь мы видим, что большая ось эллипсоида находится вдоль направления оси $y$, и ее длина равна $2 \cdot \sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$.

Таким образом, длина большей оси этого эллипсоида равна 12.