Question

Найдите интервалы увеличения и уменьшения функции:y=x^3+x^2-8x+1​

Answer 1

Ответ:

Построение графиков функций

Сервис поддерживает возможность построения графиков функций как вида , так и вида . Для того, чтобы построить график функции  на отрезке  нужно написать в строке: f[x],{x, a, b}. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты  был конкретным, например , нужно ввести: f[x],{x, a, b},{y, c, d}.

Примеры

x^2+x+2, {x,-1,1};

x^2+x+2, {x,-1,1},{y,-1,5};

Sin[x]^x, {x,-Pi,E};

Sin[x]^x, {x,-Pi,E},{y,0,1}.

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],{x, a, b}.

Примеры

x&&x^2&&x^3, {x,-1,1},{y,-1,1};

Sin[x]&&Sin[5x]&&Sin[10x]&&Sin[15x], {x,-5,5}.

Для того, чтобы построить график функции  на прямоугольнике , нужно написать в строке: f[x, y],{x, a, b},{y, c, d}. К сожалению, диапазон изменения аппликаты  пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции  Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

Примеры

Sin[x^2+y^2],{x,-1,-0.5},{y,-2,2};

xy,{x,-4,4},{y,-4,4}.

Answer 2

Для найти интервалы увеличения и уменьшения функции $y = x^3 + x^2 - 8x + 1$, нужно найти её производную и определить знак этой производной на разных интервалах. Интервалы, на которых производная положительна, будут интервалами увеличения функции, а интервалы с отрицательной производной будут интервалами уменьшения функции.

1. Начнем с нахождения производной функции $y$: $y'(x) = 3x^2 + 2x - 8.$

2. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю: $3x^2 + 2x - 8 = 0.$

Для решения этого уравнения, можно воспользоваться квадратным уравнением или другими методами (например, методом полного квадрата или графически). Решение этого уравнения дает две критические точки:

$x_1 \approx 1.605$ $x_2 \approx -1.938$

3. Теперь определим знак производной на интервалах между и за пределами критических точек.

   a. Если $x < -1.938$, то $3x^2 + 2x - 8$ положительно (так как квадратный член с положительным коэффициентом доминирует), следовательно, производная $y'(x)$ отрицательна на этом интервале.

   b. Если $-1.938 < x < 1.605$, то $3x^2 + 2x - 8$ отрицательно (так как квадратный член с отрицательным коэффициентом доминирует), следовательно, производная $y'(x)$ положительна на этом интервале.

   c. Если $x > 1.605$, то $3x^2 + 2x - 8$ снова положительно, и производная $y'(x)$ снова отрицательна на этом интервале.

Итак, мы можем сделать следующие выводы:

• Функция $y(x)$ увеличивается на интервалах $(-1.938, 1.605)$ и $(1.605, +\infty)$.
• Функция $y(x)$ убывает на интервале $(-\infty, -1.938)$.

Это интервалы увеличения и уменьшения функции $y(x)$.