Question

452. Найдите наибольшее и наименьшее значения квадратной функции y=f(x)=ax^2+bx+c в указанном интервале. a), x∈[-2;4] b), x∈[-1;5]

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

а) найдем производную функции

f'=2x приравняем к нулю x=0

если x<0 то, производная имеет знак -

если x>0 то, производная имеет знак +

Таким образом при x=0 функция имеет минимальное значение, это удовлетворяет указанному отрезку x∈[-2;4]

б)

f'=2x-4=0

x=2

если x<2 то, производная имеет знак -

если x>2 то, производная имеет знак +

Таким образом при x=2 функция имеет минимальное значение, это удовлетворяет указанному отрезку x∈[-1;5]

Answer 2

Для нахождения наибольших и наименьших значений квадратной функции y = f(x) = ax^2 + bx + c на указанных интервалах, мы можем использовать производные функции.

1. a), x∈[-2;4]: На этом интервале мы сначала найдем производную функции f(x) и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки: f'(x) = 2ax + b = 0

Теперь решим это уравнение относительно x: 2ax = -b x = -b / (2a)

Теперь мы имеем две возможности: а) Если a положительное, то квадратная функция открывается вверх, и наименьшее значение будет в точке x = -b / (2a), а наибольшее значение неограничено. б) Если a отрицательное, то квадратная функция открывается вниз, и наибольшее значение будет в точке x = -b / (2a), а наименьшее значение неограничено.

2. b), x∈[-1;5]: Аналогично, мы начинаем с нахождения производной функции f(x) и приравниваем её к нулю: f'(x) = 2ax + b = 0

Решим уравнение: 2ax = -b x = -b / (2a)

Теперь, как и в предыдущем случае, зависит от знака коэффициента a: а) Если a положительное, то квадратная функция открывается вверх, и наименьшее значение будет в точке x = -b / (2a), а наибольшее значение неограничено. б) Если a отрицательное, то квадратная функция открывается вниз, и наибольшее значение будет в точке x = -b / (2a), а наименьшее значение неограничено.

Таким образом, в обоих случаях наименьшее значение функции будет в точке x = -b / (2a), а наибольшее значение будет бесконечностью (если a имеет противоположный знак относительно x^2).