Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³, у = x

Answer 1

Ответ:

$y=x^3\ \ ,\ \ y=x\\\\x^3=x\ \ ,\ \ x(x-1)(x+1)=0\ \ ,\ \ x_1=0\ \ ,\ \ x_2=1\ \ ,\ \x x-3=-1\\\\\\S=\int\limits^1_0\, (x-x^3)\, dx=\Big(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4}\Big)\Big|_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\\\\\\2S=\dfrac{1}{2}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = x³ и y = x, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл площади между этими двумя кривыми на соответствующем участке.

Первым шагом найдем точки пересечения кривых y = x³ и y = x:

x³ = x

Решим это уравнение:

x³ - x = 0

x(x² - 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Теперь мы можем вычислить площадь между этими двумя кривыми с использованием определенного интеграла:

S = ∫[0,1] (x - x³) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [1/2 * x² - 1/4 * x^4] от 0 до 1

S = [(1/2 * 1² - 1/4 * 1^4) - (1/2 * 0² - 1/4 * 0^4)]

S = [1/2 - 1/4]

S = 1/4

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x³ и y = x, равна 1/4 квадратных единицы (или 0.25 квадратных единицы).