Question

Решите графически систему уравнений y=4x-x^2 2x+y=5

Answer 1

Решить систему уравнений графически.

$\displaystyle\left \{ {{y=4x-x^2} \atop {2x+y=5}} \right. \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left \{ {{y=-x^2+4x} \atop {y=-2x+5}} \right.$

Первое уравнение в системе:

$y=-x^2+4x$  - квадратичная функция, график - парабола.

$a=-1$   -  ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы:

$x_0=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2\cdot(-1)}=2\\\\y_0=-2^2+4\cdot 2=-4+8=4$

Нули функции:

$-x^2+4x=0\\ -x(x-4)=0\\x_1=0;\ \ \ x_2=4$

Дополнительные точки для построения:

$x_3=1;\ \ y_3=-1^2+4\cdot 1=3\\x_4=3;\ \ y_4=-3^2+4\cdot 3=3\\x_5=5;\ \ y_5=-5^2+4\cdot 5=-5$

В приложении график синего цвета.

Второе уравнение в системе:

$y=-2x+5$   -  линейная функция. График - прямая линия.

Для построения достаточно двух точек:

$x_1=0;\ \ \ y_1=-2\cdot 0+5=5\\x_2=2;\ \ \ y_2=-2\cdot 2+5=1$

В приложении график зелёного цвета.

Решением системы уравнений являются координаты двух точек пересечения графиков функций:

$A(1;3);\ \ B(5;-5)$

Ответ:  (1; 3),  (5; -5).

Answer 2

Для решения данной системы уравнений графически, мы можем нарисовать графики обоих уравнений и найти точку их пересечения. Пересечение графиков будет представлять собой решение системы.

Первое уравнение: y = 4x - x^2

Второе уравнение: 2x + y = 5

Давайте начнем с построения графиков обоих уравнений. Мы можем начать с графика первого уравнения, заметив, что это квадратичное уравнение, представленное в виде параболы. Затем мы нарисуем график второго уравнения, представленного в виде прямой линии.

Первое уравнение (y = 4x - x^2): Для начала определим, как выглядит график этого уравнения:

Для построения параболы нам нужно найти вершину (максимум или минимум) и направление открытия. В данном случае, у нас есть квадратичный коэффициент -1 перед x^2, что означает, что парабола открывается вниз.

Чтобы найти вершину параболы, используем формулу вершины: x_v = -b / (2a), где a = -1, b = 4

x_v = -4 / (2 * (-1)) = 4 / 2 = 2

Теперь найдем соответствующее значение y: y_v = 4 * 2 - 2^2 = 8 - 4 = 4

Итак, вершина параболы находится в точке (2, 4). Теперь мы знаем вершину и направление открытия параболы, поэтому можем построить график:

График первого уравнения:

luaCopy code
  ^
  |             *
  |            *
  |          *
  |       *
  |    *
  | *
  +----------------->
    0   1   2   3   4   5   6

Теперь давайте построим график второго уравнения (2x + y = 5). Для этого преобразуем уравнение в форму, где y выражено как функция от x:

y = 5 - 2x

График второго уравнения (2x + y = 5):

luaCopy code
  ^
  |     *
  |   *
  | *
  +----------------->
    0   1   2   3   4   5   6

Теперь мы видим, что графики обоих уравнений пересекаются в точке (2, 4). Это значит, что решение системы уравнений y=4x-x^2 и 2x+y=5 состоит в том, что x = 2 и y = 4.

Таким образом, система имеет единственное решение: x = 2 и y = 4.