Question

Sin(cosπx) найти производную, с объяснениями

Answer 1

Ответ:

$y = \sin( \cos(\pi \: x) )$

$y' = ( \sin( \cos(\pi \: x) )' \times ( \cos(\pi \: x))' \times (\pi \: x) '= \\ = \cos( \cos(\pi \: x) ) \times ( - \sin(\pi \: x)) \times \pi = \\ = - \pi \sin(\pi \: x) \times \cos( \cos(\pi \: x) )$

Это сложная функция, поэтому нужно взять производные еще от внутренних функций.

По формулам:

$( \cos(x))' = - \sin(x) \\ ( \sin(x))' = \cos(x) \\ (ax) '= a$

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции $f(x) = \sin(\cos(\pi x))$, мы будем применять правило цепочки (chain rule). Это правило гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Давайте разберемся с этой задачей:

1. Внутренняя функция: $\cos(\pi x)$. Для нахождения её производной, мы можем использовать производную косинуса: $\frac{d}{dx}(\cos(\pi x)) = -\pi\sin(\pi x)$.

2. Внешняя функция: $\sin(\ldots)$. Мы не изменяем эту функцию.

Теперь применим правило цепочки:

$$\frac{d}{dx}(\sin(\cos(\pi x))) = \cos(\pi x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos(\pi x))$$

Подставим производную внутренней функции, которую мы нашли в шаге 1:

$$\frac{d}{dx}(\sin(\cos(\pi x))) = \cos(\pi x) \cdot (-\pi\sin(\pi x))$$

Теперь у нас есть производная функции $f(x) = \sin(\cos(\pi x))$:

$$\frac{d}{dx}(\sin(\cos(\pi x))) = -\pi\cos(\pi x)\sin(\pi x)$$

Это и есть производная данной функции.