Question

Найдите производную функции f(x)= x^2 +2x/x-1

Answer 1

Ответ:

$f(x) = \frac{ {x}^{2} + 2x}{x - 1}$

$f'(x) = \frac{( {x}^{2} + 2x)'(x - 1) - (x - 1)'( {x}^{2} + x)}{ {(x - 1)}^{2} } = \\ = \frac{(2x + 2)(x - 1) - ( {x}^{2} + 2x) }{ {(x - 1)}^{2} } = \\ = \frac{2 {x}^{2} - 2x + 2x - 2 - {x}^{2} - 2x }{ {(x - 1)}^{2} } = \\ = \frac{ {x}^{2} - 2x - 2}{ {(x - 1)}^{2} }$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1}$, вам нужно применить правило дифференцирования частного (квотиентного правила) и правило дифференцирования суммы. Вот как это делается:

1. Начнем с разложения функции $f(x)$ на две отдельные функции: $f(x) = \frac{x^2}{x - 1} + \frac{2x}{x - 1}$.

2. Теперь вычислим производные каждой из этих функций по отдельности.

   a. Для первой части $\frac{x^2}{x - 1}$, используем правило дифференцирования частного:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x - 1}\right) = \frac{(x - 1)(2x) - (x^2)(1)}{(x - 1)^2}.$$

   b. Для второй части $\frac{2x}{x - 1}$, также используем правило дифференцирования частного:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{x - 1}\right) = \frac{(x - 1)(2) - (2x)(1)}{(x - 1)^2}.$$

3. Теперь объединим производные обеих частей вместе:

   $$f'(x) = \frac{(x - 1)(2x) - (x^2)(1)}{(x - 1)^2} + \frac{(x - 1)(2) - (2x)(1)}{(x - 1)^2}.$$

4. Упростим числитель и объединим дроби:

   $$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 + 2x}{(x - 1)^2}.$$

5. Упростим числитель:

   $$f'(x) = \frac{x^2}{(x - 1)^2}.$$

Итак, производная функции $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1}$ равна:

$f'(x) = \frac{x^2}{(x - 1)^2}.$