Question

Уравнение 12x+5=y2 не имеет решений в целых числах, что можно доказать, рассмотрев остатки при делении на N. Чему может быть равно N? 2. 3. 4. 5. 7. 8. 9.

Answer 1

Ответ:

3 и 9 Проверено Сириусом

Answer 2

Чтобы понять, при каких значениях N уравнение $12x + 5 = y^2$ не имеет решений в целых числах, давайте рассмотрим остатки $12x$ и $y^2$ при делении на каждое из данных значений N.

Для каждого N мы будем рассматривать остатки $12x$ и $y^2$ при делении на N. Если мы найдем такие N, при которых остатки не совпадают, то уравнение не имеет решений в целых числах.

1. При N = 2:

   • Остаток $12x$ при делении на 2 может быть только 0 (если x - четное) или 1 (если x - нечетное).
   • Остаток $y^2$ при делении на 2 может быть только 0 (если y - четное) или 1 (если y - нечетное).

   Таким образом, остатки совпадают для всех значений x и y, и N = 2 не подходит.

2. При N = 3:

   • Остаток $12x$ при делении на 3 может быть 0, 1 или 2.
   • Остаток $y^2$ при делении на 3 может быть 0, 1 или 2.

   Остатки совпадают для некоторых значений x и y, и N = 3 не подходит.

3. При N = 4:

   • Остаток $12x$ при делении на 4 может быть только 0 (если x - четное).
   • Остаток $y^2$ при делении на 4 может быть 0 или 1 (если y - четное или нечетное соответственно).

   Остатки не совпадают для всех значений x и y, и N = 4 подходит.

4. При N = 5:

   • Остаток $12x$ при делении на 5 может быть 0, 1, 2, 3 или 4.
   • Остаток $y^2$ при делении на 5 может быть 0, 1, 4, 9 или 16.

   Остатки совпадают для некоторых значений x и y, и N = 5 не подходит.

5. При N = 7:

   • Остаток $12x$ при делении на 7 может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
   • Остаток $y^2$ при делении на 7 может быть 0, 1, 4, 9, 2, 5 или 3.

   Остатки совпадают для некоторых значений x и y, и N = 7 не подходит.

6. При N = 8:

   • Остаток $12x$ при делении на 8 может быть 0, 4 или 8.
   • Остаток $y^2$ при делении на 8 может быть 0, 1, 4 или 9.

   Остатки совпадают для некоторых значений x и y, и N = 8 не подходит.

7. При N = 9:

   • Остаток $12x$ при делении на 9 может быть 0, 3, 6 или 9.
   • Остаток $y^2$ при делении на 9 может быть 0, 1, 4, 7 или 2.

   Остатки совпадают для некоторых значений x и y, и N = 9 не подходит.

Итак, только при N = 4 остатки не совпадают для всех значений x и y. Таким образом, уравнение $12x + 5 = y^2$ не имеет решений в целых числах, если N = 4.