Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 3cos^2альфа-8sin^2альфа

Answer 1

рассмотрим выражение

$\displaystyle 3cos^2\alpha -8sin^2\alpha ;\\\\\left \{ {{-1\leq cos\alpha \leq 1} \atop {-1\leq sin\alpha \leq 1}} \right.\\\\\left \{ {{0\leq cos^2\alpha \leq 1} \atop {0\leq sin\alpha \leq 1}} \right.$

Чтобы значение выражение (a-b) было наибольшим надо чтобы b=0

т.е. sin²α=0; sinα=0; α=πn

тогда

$\displaystyle 3*cos^2(\pi )-8*0=3$

Чтобы значение выражение (a-b) было наименьшим надо чтобы a=0

т.е. cos²α=0; cosα=0; α=π/2+πn

тогда

$\displaystyle 0-8sin^2(\frac{\pi }{2})= -8$

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения 3cos^2(α) - 8sin^2(α), где α - угол, мы можем воспользоваться свойствами тригонометрии.

Сначала мы можем воспользоваться тождеством Пифагора для синуса и косинуса: sin^2(α) + cos^2(α) = 1

Теперь мы можем выразить sin^2(α) через cos^2(α): sin^2(α) = 1 - cos^2(α)

Теперь подставим это выражение в исходное выражение: 3cos^2(α) - 8(1 - cos^2(α))

Раскроем скобки: 3cos^2(α) - 8 + 8cos^2(α)

Объединим подобные члены: 11cos^2(α) - 8

Теперь мы видим, что это квадратичная функция от cos^2(α). Для нахождения наибольшего и наименьшего значения этой функции, нам нужно определить, когда она достигает своего максимума и минимума.

Наибольшее значение будет достигаться, когда cos^2(α) максимально, что равно 1. Таким образом, наибольшее значение равно: 11 * 1 - 8 = 11 - 8 = 3

Наименьшее значение будет достигаться, когда cos^2(α) минимально, что также равно 1 (так как cos^2(α) не может быть отрицательным). Таким образом, наименьшее значение также равно 3.

Итак, наибольшее и наименьшее значения выражения 3cos^2(α) - 8sin^2(α) равны оба 3.