Question

Нужно найти первообразную функции f(x) = 3/cos²x - Sinx

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = \frac{3}{\cos^2(x)} - \sin(x)$, давайте разобьем ее на две части и найдем первообразные для каждой из них по отдельности.

1. $F_1(x) = \int \frac{3}{\cos^2(x)} \, dx$

Используем тригонометрическую тождества:

$\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)$

Отсюда получаем:

$\frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)$

Теперь мы можем заменить $\frac{3}{\cos^2(x)}$ на $3(1 + \tan^2(x))$:

$F_1(x) = \int 3(1 + \tan^2(x)) \, dx$

Раскроем скобки и проинтегрируем:

$F_1(x) = 3\int (1 + \tan^2(x)) \, dx$

$F_1(x) = 3\left(x + \frac{1}{3}\tan^3(x)\right) + C_1$

2. $F_2(x) = \int (-\sin(x)) \, dx$

Интеграл от $-\sin(x)$ равен $\cos(x)$:

$F_2(x) = -\cos(x) + C_2$

Теперь объединим результаты:

$F(x) = F_1(x) + F_2(x) = 3\left(x + \frac{1}{3}\tan^3(x)\right) - \cos(x) + C$

где $C = C_1 + C_2$ - произвольная постоянная интегрирования. Это и есть первообразная функции $f(x) = \frac{3}{\cos^2(x)} - \sin(x)$.