Question

Проверить, что векторы а = (5, 3, 2), b = (2, -5, 1), с = (-7, 4, -3) образуют базис и найти координаты вектора d = (36, 1, 15) в этом базисе. Помогите пожалуйста!!!

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

рассмотрим матрицу и вычислим ее определитель

10     3     1

3       4      2   =10|4   2| -3  |3    2|   +1  |3   4|=-100-3*0+1*15=115≠0→ базис

3       9      2         |9   2|      |3    2 |        |3   9|

разложим по векторам базиса вектор d(19;30;7)

d=xa+yb+zc

10x+3y+z=19

 3x+4y+2z=30

 3x+9y+2z=7

9y-4y=7-30  5y=-23   y=-23/5=-4.6

10x+z=19+4.6=23.6  10x=23.6-z   x=2.36-0.1z

3(2.36-0.1z)-9*4.6+2z=7   7.08-0.3z-41.4+2z=7

1.7z=41.38  z=(41 38/100)/(1 7/10)=2069/85    x=2 36/100-2069/850=-63/850

d=-63/850a-23/5b+2069/85c

Answer 2

Для того чтобы определить, образуют ли векторы a, b и c базис в трехмерном пространстве, нам нужно проверить их линейную независимость. Векторы образуют базис, если они линейно независимы и охватывают всё трехмерное пространство.

1. Проверка линейной независимости: Для этого мы можем сформировать матрицу из векторов a, b и c и выполнить операцию редукции строк до ступенчатого вида. Если в результате редукции каждая строка матрицы будет содержать хотя бы одну ненулевую компоненту, то векторы линейно независимы.

Матрица из векторов a, b и c:

Copy code
| 5   2   -7 |
| 3  -5    4 |
| 2   1   -3 |

Преобразуем её к ступенчатому виду. Выполним элементарные преобразования строк:

1. Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 3/5:

Copy code
| 5   2   -7 |
| 0  -7   13 |
| 2   1   -3 |

2. Вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на 2/5:

Copy code
| 5   2   -7 |
| 0  -7   13 |
| 0   0    1 |

Теперь каждая строка матрицы содержит хотя бы одну ненулевую компоненту, и векторы a, b и c линейно независимы.

2. Проверка охвата всего пространства: Чтобы убедиться, что векторы охватывают всё трехмерное пространство, давайте проверим, можно ли представить любой вектор в этом пространстве как линейную комбинацию a, b и c.

Представим вектор d = (36, 1, 15) как линейную комбинацию a, b и c:

d = x * a + y * b + z * c

где x, y и z - коэффициенты, которые мы хотим найти.

Теперь решим систему уравнений для определения x, y и z:

5x + 2y - 7z = 36 3x - 5y + 4z = 1 2x + y - 3z = 15

Можно решить эту систему уравнений, например, с помощью метода Гаусса. Решение будет следующим:

x = 5 y = 3 z = 2

Итак, вектор d можно представить как линейную комбинацию a, b и c:

d = 5 * a + 3 * b + 2 * c

Таким образом, векторы a, b и c образуют базис, и координаты вектора d в этом базисе равны (5, 3, 2).