Question

Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно: 1) ln 1,01 2)

Answer 1

Решение:

1)

$ln(1.01) = \frac{log_{10}(1.01)}{log_{10}(e)} = \frac{lg(1.01)}{lg(2.71)} = \frac{0.0043}{0.4330} \approx 0.0099$

2)

$\sqrt{0.98} = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{\sqrt{50}} = \frac{7}{\sqrt{25\times2}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{7 \sqrt{2}}{5\times(\sqrt{2})^{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{5\times2} = \frac{7\sqrt{2}}{10} \approx \frac{7\times 1.41}{10} \approx \frac{9.87}{10} \approx 0.987$

Ответ: 1) 0,0099; 2) 0,987

Answer 2

Для вычисления приближенных значений функций с использованием дифференциала, мы можем воспользоваться формулой приращения функции:

f(x + dx) ≈ f(x) + f'(x) * dx,

где f(x) - исходная функция, f'(x) - производная функции по переменной x, dx - приращение переменной x.

1. Вычислим ln(1.01) приближенно. Исходная функция - ln(x), а производная функции ln(x) равна 1/x.

f'(x) = 1/x,

Теперь возьмем x = 1 (поскольку ln(1) = 0) и dx = 0.01 (поскольку мы хотим приближенно вычислить ln(1.01)):

ln(1.01) ≈ ln(1) + (1/1) * 0.01 = 0 + 0.01 = 0.01.

Таким образом, ln(1.01) приближенно равно 0.01.

2. Вычислим sin(0.02) приближенно. Исходная функция - sin(x), а производная функции sin(x) равна cos(x).

f'(x) = cos(x),

Теперь возьмем x = 0 (поскольку sin(0) = 0) и dx = 0.02 (поскольку мы хотим приближенно вычислить sin(0.02)):

sin(0.02) ≈ sin(0) + cos(0) * 0.02 = 0 + 1 * 0.02 = 0.02.

Таким образом, sin(0.02) приближенно равно 0.02.