Question

Пожалуйста, помогите решить:3cos²x-sin²x=sin2x​

Answer 1

$\displaystyle 3cos^2x-sin2x-sin^2x=0\\\\3cos^2x-2sinx*cosx-sin^2x=0|:sin^2x\neq 0\\\\ 3ctg^2x-2ctgx-1=0\\\\ctgx=t\\\\3t^2-2t-1=0\\\\D=4+12=16\\\\t_{1.2}=\frac{2 \pm 4}{6}\\\\t_1=1; t_2=-\frac{1}{3}\\\\ctgx=1; x=\frac{\pi }{4}+\pi n; n \in Z\\\\ctgx=-\frac{1}{3}=; x=-arcctg\frac{1}{3}+\pi n; n \in Z$

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение:

$3\cos^2(x) - \sin^2(x) = \sin(2x)$

Используем тригонометрические тождества:

$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ (Тождество двойного угла для косинуса)

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ (Тождество двойного угла для синуса)

Подставим эти тождества в уравнение:

$3\cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\sin(x)\cos(x)$

Теперь заменим $\cos^2(x)$ через $\sin^2(x)$ с использованием тригонометрического тождества $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$:

$3(1 - \sin^2(x)) - \sin^2(x) = 2\sin(x)\cos(x)$

Раскроем скобки:

$3 - 3\sin^2(x) - \sin^2(x) = 2\sin(x)\cos(x)$

$3 - 4\sin^2(x) = 2\sin(x)\cos(x)$

Теперь заметим, что $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, поэтому мы можем переписать уравнение как:

$3 - 4\sin^2(x) = \sin(2x)$

Теперь приведем все к одной стороне уравнения:

$4\sin^2(x) + \sin(2x) - 3 = 0$

Мы имеем квадратное уравнение относительно $\sin(x)$. Попробуем решить его.

Пусть $t = \sin(x)$, тогда уравнение примет вид:

$4t^2 + t - 3 = 0$

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня. Однако, к сожалению, здесь мы получаем квадратный корень из дискриминанта $\sqrt{17}$, что означает, что корни будут не совсем точными значениями.

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8}$

Теперь мы можем найти значения $x$ используя обратную тригонометрическую функцию $\sin^{-1}(t)$. Обратите внимание, что знак $\pm$ означает, что у нас может быть два значения для $x$ для каждого корня $t$.

Итак, для каждого значения $t$ найдем $x$:

1. Если $t = \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}$:

   $x_1 = \sin^{-1}\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{8}\right)$

   $x_2 = \pi - \sin^{-1}\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{8}\right)$

2. Если $t = \frac{-1 - \sqrt{17}}{8}$:

   $x_3 = \sin^{-1}\left(\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}\right)$

   $x_4 = \pi - \sin^{-1}\left(\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}\right)$