Question

Если tga+ctga=8,найдите tg^2a+ctg^2a

Answer 1

Ответ: tg²α + ctg²α =62.

Объяснение: tgα + ctgα =8;

Тогда (tgα + ctgα)²=8²=64;

(tgα+ctgα)²= tg²α+ 2×tgα×ctgα + ctg²α=64;

tgα×ctgα=1; → tg²α+2×tgα×ctgα + ctg²α= tg²α + 2×1 + ctg²α=64; →

→ tg²α + ctg²α= 64 -2; →

→ tg²α + ctg²α = 62.

Answer 2

Давайте воспользуемся тригонометрическими идентичностями для нахождения значения выражения tg^2a + ctg^2a.

Известно, что:

1. tg(a) = (sin(a) / cos(a))
2. ctg(a) = 1 / tg(a) = cos(a) / sin(a)

Мы имеем уравнение tga + ctga = 8, которое можно переписать следующим образом: (sin(a) / cos(a)) + (cos(a) / sin(a)) = 8

Для удобства, давайте умножим обе стороны на sin(a) * cos(a), чтобы избавиться от дробей: sin^2(a) + cos^2(a) = 8 * sin(a) * cos(a)

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью sin^2(a) + cos^2(a) = 1: 1 = 8 * sin(a) * cos(a)

Теперь мы имеем: sin(a) * cos(a) = 1/8

Теперь мы можем найти значение выражения tg^2a + ctg^2a, используя наши определения tg(a) и ctg(a): tg^2a + ctg^2a = (sin^2(a) / cos^2(a)) + (cos^2(a) / sin^2(a))

Теперь мы можем подставить значение sin(a) * cos(a), которое мы выразили ранее: tg^2a + ctg^2a = ((1/8)^2 / (cos^2(a))) + ((1/8)^2 / (sin^2(a)))

Теперь мы можем упростить это выражение: tg^2a + ctg^2a = (1/64) * ((1 / cos^2(a)) + (1 / sin^2(a)))

Теперь используем известные тригонометрические идентичности: 1 / cos^2(a) = sec^2(a) и 1 / sin^2(a) = csc^2(a)

tg^2a + ctg^2a = (1/64) * (sec^2(a) + csc^2(a))

Таким образом, значение выражения tg^2a + ctg^2a равно (1/64) * (sec^2(a) + csc^2(a)).