Question

Найти частные производные второго порядка функций 1) z=x²+3xy 2) z=x²-2xy-y² 3) z=x³+3x²y-y³

Answer 1

Ответ:

1)

$><strong>      </strong></p> <p><strong>2)</strong></p> <p><strong>  </strong><img src=$

3)

$\frac{d^2z}{dx^2}=6x+6y\\ \frac{d^2z}{dy^2}=-6y\\\frac{d^2z}{dxdy}=6x\\ \frac{d^2z}{dydx}=6x$        

Объяснение:

1) $z=x^2+3xy$

$\fbox{x^n=nx^{n-1}}$$(x^n)'=nx^{n-1}$

Найдем сначала частные производные первого порядка:

$\frac{dz}{dx}= (x^2+3xy)'_x=2x+3y\\\frac{dz}{dy}= (x^2+3xy)'_y=3x$

Теперь найдем частные производные второго порядка:

$></p> <p>Видим, что <img src=$

То есть смешанные частные производные равны.

2) $z=x^2-2xy-y^2$

Найдем сначала частные производные первого порядка:

$\frac{dz}{dx}=(x^2-2xy-y^2)'_x=2x-2y \\\frac{dz}{dy}=(x^2-2xy-y^2)'_y=-2x-2y$

Теперь найдем частные производные второго порядка:$\frac{d^2z}{dx^2}=( 2x-2y)'_x=2\\\frac{d^2z}{dy^2}=( -2x-2y)'_y=-2\\\frac{d^2z}{dxdy}=( 2x-2y)'_y=-2\\\frac{d^2z}{dydx}=( -2x-2y)'_x=-2$

3) $z=x^3+3x^2y-y^3$

Найдем сначала частные производные первого порядка:

$\frac{dz}{dx}=( x^3+3x^2y-y^3)'_x=3x^2+6xy\\\frac{dz}{dy}=( x^3+3x^2y-y^3)'_y=3x^2-3y^2$

Теперь найдем частные производные второго порядка:$\frac{d^2z}{dx^2}=(3x^2+6xy)'_x=6x+6y\\ \frac{d^2z}{dy^2}=(3x^2-3y^2)'_y=-6y\\\frac{d^2z}{dxdy}=(3x^2+6xy)'_y=6x\\ \frac{d^2z}{dydx}=(3x^2-3y^2)'_x=6x$

Answer 2

Для нахождения частных производных второго порядка функций по переменным x и y, сначала найдем частные производные первого порядка, а затем найдем частные производные второго порядка. Давайте начнем с первой функции:

1. z = x² + 3xy

Первые частные производные по переменным x и y:

∂z/∂x = 2x + 3y ∂z/∂y = 3x

Теперь найдем частные производные второго порядка:

Частная производная второго порядка по x: ∂²z/∂x² = ∂/∂x (2x + 3y) = 2

Частная производная второго порядка по y: ∂²z/∂y² = ∂/∂y (3x) = 0

Теперь перейдем ко второй функции:

2. z = x² - 2xy - y²

Первые частные производные по переменным x и y:

∂z/∂x = 2x - 2y ∂z/∂y = -2x - 2y

Теперь найдем частные производные второго порядка:

Частная производная второго порядка по x: ∂²z/∂x² = ∂/∂x (2x - 2y) = 2

Частная производная второго порядка по y: ∂²z/∂y² = ∂/∂y (-2x - 2y) = -2

Теперь перейдем к третьей функции:

3. z = x³ + 3x²y - y³

Первые частные производные по переменным x и y:

∂z/∂x = 3x² + 6xy ∂z/∂y = 3x² - 3y²

Теперь найдем частные производные второго порядка:

Частная производная второго порядка по x: ∂²z/∂x² = ∂/∂x (3x² + 6xy) = 6x + 6y

Частная производная второго порядка по y: ∂²z/∂y² = ∂/∂y (3x² - 3y²) = -6y

Таким образом, частные производные второго порядка для данных функций следующие:

1. ∂²z/∂x² = 2, ∂²z/∂y² = 0
2. ∂²z/∂x² = 2, ∂²z/∂y² = -2
3. ∂²z/∂x² = 6x + 6y, ∂²z/∂y² = -6y