Question

Является ли функция f(X) непрерывной в точках х1=0 и х2=1, если f(X)=3sinπx-5cos2πx?​

Answer 1

Ответ:

В обеих точках функция непрерывна

Объяснение:

Для ответа на данный вопрос найдём пределы слева и справа от указанных точек, если пределы совпадают, то функция в данной точке непрерывна, если не совпадают, то функция имеет разрыв первого рода, а если хотя бы один из пределов равен бесконечности или не существует, то в данной точке функция имеет разрыв второго рода.

для x = 0

$\lim_{x \to 0+} (3sin(\pi x) - 5cos(2\pi x) = -5\\ \lim_{x \to 0-} (3sin(\pi x) - 5cos(2\pi x) = -5$

Как видим, пределы слева и справа совпадают, следовательно f(0) непрерывна

для x = 1

$\lim_{x \to 1+} (3sin(\pi x) - 5cos(2\pi x) = -5\\ \lim_{x \to 1-} (3sin(\pi x) - 5cos(2\pi x) = -5$

Снова видим, что пределы совпадают, следовательно и при f(1) функция непрерывна.

Answer 2

Для определения, является ли функция f(x) непрерывной в точках x1 = 0 и x2 = 1, мы должны проверить три условия:

1. Функция f(x) должна быть определена в этих точках.
2. Пределы функции f(x) в этих точках должны существовать.
3. Значения функции f(x) в этих точках должны быть равны пределам.

Давайте начнем с первого условия:

1. Функция f(x) = 3sin(πx) - 5cos(2πx) определена для всех действительных чисел x, поэтому она определена и в точках x1 = 0 и x2 = 1.

Теперь проверим второе условие, вычислив пределы:

Для x1 = 0: lim(x → 0) [3sin(πx) - 5cos(2πx)] = 3sin(0) - 5cos(0) = 0 - 5(1) = -5.

Для x2 = 1: lim(x → 1) [3sin(πx) - 5cos(2πx)] = 3sin(π) - 5cos(2π) = 0 - 5(1) = -5.

Теперь давайте проверим третье условие:

Значение функции f(x) в точках x1 = 0 и x2 = 1: f(0) = 3sin(π * 0) - 5cos(2π * 0) = 3sin(0) - 5cos(0) = 0 - 5(1) = -5, f(1) = 3sin(π * 1) - 5cos(2π * 1) = 3sin(π) - 5cos(2π) = 0 - 5(1) = -5.

Так как значения функции в точках x1 и x2 равны соответствующим пределам, то функция f(x) удовлетворяет требованиям непрерывности в точках x1 = 0 и x2 = 1. Таким образом, функция f(x) непрерывна в этих точках.