Question

F(x)=ФИГУРНАЯ СКОБКА СКОБКА 2^x, при x<2 ; 4+корень(x-2) при x>2 построить график функции f(x) и выяснить а)имеет ли эта функция предел при х-->2 б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой в) на каких промежутках функция непрерывна

Answer 1

Решение во вложении
------------------------------------

Answer 2

Для начала, построим график функции f(x). Для этого разобъем ее на две части в соответствии с заданными условиями:

- При x < 2: f(x) = 2^x - При x > 2: f(x) = 4√(x - 2)

Теперь построим графики каждой из этих частей:

1. График функции 2^x при x < 2: Для построения этого графика выберем несколько значений x, например: -2, -1, 0, 1. Затем, подставим эти значения в функцию, чтобы найти соответствующие значения y.

Получаем следующие значения: - При x = -2: y = 2^(-2) = 1/4 = 0.25 - При x = -1: y = 2^(-1) = 1/2 = 0.5 - При x = 0: y = 2^0 = 1 - При x = 1: y = 2^1 = 2

На основе этих значений построим график, получив прямую, возрастающую слева направо.

2. График функции 4√(x - 2) при x > 2: Для построения этого графика также выберем несколько значений x, например: 3, 4, 5, 6. Затем, подставим их в функцию, чтобы найти соответствующие значения y.

Получаем следующие значения: - При x = 3: y = 4√(3 - 2) = 4√1 = 4 - При x = 4: y = 4√(4 - 2) = 4√2 ≈ 5.65 - При x = 5: y = 4√(5 - 2) = 4√3 ≈ 6.93 - При x = 6: y = 4√(6 - 2) = 4√4 = 8

На основе этих значений также построим график.

Теперь проанализируем заданные вопросы:

а) Чтобы определить, имеет ли функция f(x) предел при x --> 2, нужно выяснить, существуют ли значения функции, которые приближаются к определенному числу при x, близких к 2 с обеих сторон. Из графика видно, что график функции приближается к значению y = 4 при x --> 2 справа и приближается к значению y = 1 при x --> 2 слева предела при x --> 2 не существует.

б) Функция f(x) не является непрерывной на всей числовой прямой, так как имеет разрыв в точке x = 2. Слева от этой точки график функции представляет собой возрастающую параболу, а справа - квадратный корень, что приводит к разрыву.

в) Функция f(x) непрерывна на промежутках (-∞, 2) и (2, +∞), поскольку в этих интервалах график функции не имеет разрывов.