Question

Решить неравенство: 1.|(корень 2х) + 1 | <=1 2.| 1 - 2x| > 1/3

Answer 1

1.

$|\sqrt{2x} +1|\leq 1$

ОДЗ:  $x\geq 0$

$-1\leq \sqrt{2x} +1\leq 1$

$-1-1\leq \sqrt{2x} +1-1\leq 1-1$

$-2\leq \sqrt{2x} \leq 0$

С учетом ОДЗ, где   $x\geq 0$,

получаем решение:

$x=0$

Ответ: {0}

2.

$|1-2x|>\frac{1}{3}$

Раскрываем модуль и получаем два неравенства:

${1-2x$

${1-2x>\frac{1}{3} }}$

1)  Решаем первое

       $1-2x$

     $-2x$

     $-2x$

     $-2x:(-2)>-\frac{4}{3}:(-2)$

       $x>\frac{2}{3}$

2)   Решаем второе

       $1-2x>\frac{1}{3}$

     $-2x>\frac{1}{3}-1$

     $-2x> -\frac{2}{3}$

     $-2x:(-2)< -\frac{2}{3}:(-2)$

        $x$

3)    Общее решение: (-∞;  $\frac{1}{3}$) + ($\frac{2}{3}$;  +∞)

  Ответ: (-∞;  $\frac{1}{3}$) ∪ ($\frac{2}{3}$;  +∞)

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

1. |√(2x) + 1| ≤ 1

Для начала, давайте избавимся от модуля, разделив неравенство на два возможных случая, когда выражение внутри модуля положительное и когда оно отрицательное.

Случай 1: √(2x) + 1 ≤ 1 Вычитаем 1 с обеих сторон: √(2x) ≤ 0 Теперь возводим обе стороны в квадрат (это безопасно, так как обе стороны неравенства неотрицательны): 2x ≤ 0 x ≤ 0

Случай 2: -(√(2x) + 1) ≤ 1 Умножаем обе стороны на -1 (не забудьте поменять знак неравенства): √(2x) + 1 ≥ -1 Вычитаем 1 с обеих сторон: √(2x) ≥ -2

Теперь возводим обе стороны в квадрат (заметьте, что знак неравенства не меняется, так как мы возводим обе стороны в неотрицательное число): 2x ≥ 4 x ≥ 2

Итак, у нас есть два интервала, которые удовлетворяют исходному неравенству:

• Для x ≤ 0
• Для x ≥ 2

2. |1 - 2x| > 1/3

Аналогично предыдущему неравенству, разделим его на два возможных случая:

Случай 1: 1 - 2x > 1/3 Вычитаем 1/3 с обеих сторон: 1 - 2x - 1/3 > 0 Упрощаем: 2/3 - 2x > 0 Теперь делим обе стороны на -2 (не забудьте поменять знак неравенства): (2/3 - 2x) / -2 < 0 -1/3 + x < 0 x < 1/3

Случай 2: -(1 - 2x) > 1/3 Умножаем обе стороны на -1 (не забудьте поменять знак неравенства): 1 - 2x < -1/3 Вычитаем 1 с обеих сторон: -2x < -4/3 Теперь делим обе стороны на -2 (не забудьте поменять знак неравенства): x > 2/3

Итак, у нас есть два интервала, которые удовлетворяют второму неравенству:

• Для x < 1/3
• Для x > 2/3

Итак, решения неравенств:

1. Для первого неравенства: x ≤ 0 и x ≥ 2
2. Для второго неравенства: x < 1/3 и x > 2/3