Question

Докажите что значение выражения 27^3+4^3 делится нацело на 31​

Answer 1

Применим формулу

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

и преобразуем данное выражение в произведение:

$27^{3}+4^{3}=(27+4)*(27^{2} -27*4+4^{2}) = 31*(27^{2} -27*4+4^{2})$

В произведении   $31*(27^{2} - 27*4 + 4^{2})$  есть множитель, который делится нацело на 31​, это означает, что значение выражения $27^3 + 4^3$ делится нацело на 31​.

Доказано.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что значение выражения $27^3 + 4^3$ делится нацело на 31, нам необходимо воспользоваться свойствами арифметики, а именно свойством суммы кубов и тем фактом, что $27 \equiv -4 \pmod{31}$. Это можно представить следующим образом:

$27^3 + 4^3 \equiv (-4)^3 + 4^3 \pmod{31}$

Теперь мы можем использовать свойство суммы кубов:

$(-4)^3 + 4^3 = -64 + 64 = 0$

Таким образом, $27^3 + 4^3$ делится нацело на 31.