Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке x⁵+15x³-50x [-5 ; 0]

Answer 1

Ответ:

наим.  -4750

наиб.   34

Объяснение:

f(x) = x⁵+15x³-50x

x ∈ [-5 ; 0]

экстремумы (мин или макс) в точках f'(x) = 0

f'(x) = 5x⁴ + 45x³ - 50

5x⁴ + 45x³ - 50 = 0

 x⁴ + 9x² - 10 =0

x² = y ≥ 0

y² + 9y -10 =0

D = 121

y = (-9 +11)/2 = 1, второй корень отрицательный - не подходит

x² = 1

x = -1, т. к. 1 ∉ [-5 ; 0]

f(-1) = -1 -15 + 50 = 34

узнать мин или макс можно или через 2-ю производную или сравнить со значениями в окрестности.

Сравним:

f(0) = 0 < 34  

f(-2) = -32 - 120 + 100 = -52 < 34

Значит наибольшее на отрезке  = 34 и это единственный экстремум на промежутке, значит наименьшее будет на его краях, при 0 уже нашли найдем при -5

(-5)⁵ + 15*(-5)³ + 250 = -3125 - 1875 + 250 = -4750  это и будет наименьшим значением

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x) = x^5 + 15x^3 - 50x$ на отрезке $[-5, 0]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции $f(x)$, которые находятся внутри данного отрезка, и такие, что производная функции равна нулю или не существует.

2. Вычислите значения функции $f(x)$ в найденных критических точках и на концах отрезка $[-5, 0]$.

3. Сравните полученные значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции на этом отрезке.

Шаг 1: Найдем критические точки, вычислив производную функции $f(x)$: $f'(x) = 5x^4 + 45x^2 - 50$

Теперь найдем критические точки, где $f'(x) = 0$: $5x^4 + 45x^2 - 50 = 0$

Для упрощения рассмотрим уравнение вида $5x^4 + 45x^2 - 50 = 0$, где можно заметить, что все коэффициенты делятся на 5. Поделим уравнение на 5: $x^4 + 9x^2 - 10 = 0$

Теперь сделаем замену $y = x^2$: $y^2 + 9y - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение для $y$. Для этого воспользуемся квадратным уравнением и найдем два значения $y$: $y = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 + 4 \cdot 10}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{181}}{2}$

Теперь вернемся к переменной $x$, используя $x^2 = y$:

Теперь у нас есть две критические точки внутри отрезка \([-5, 0]\). Шаг 2: Вычислим значения функции \(f(x)\) в найденных критических точках и на концах отрезка: 1. \(f\left(\sqrt{\frac{-9 + \sqrt{181}}{2}}\right)\) 2. \(f\left(-\sqrt{\frac{-9 + \sqrt{181}}{2}}\right)\) 3. \(f(-5)\) 4. \(f(0)\) Шаг 3: Сравним полученные значения и найдем наименьшее и наибольшее значение: Вычисляем значения функции в каждой из этих точек, а затем выбираем наименьшее и наибольшее значение из них.