Question

Решите уравнение 2cos²x - cos x - 1 =0

Answer 1

$2\cos^2x-\cos x-1=0$

$D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9$

$\cos x=\dfrac{1+\sqrt{9} }{2\cdot2} =1 \Rightarrow \boxed{x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

$\cos x=\dfrac{1-\sqrt{9} }{2\cdot2} =-\dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+ 2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

Answer 2

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 3

Чтобы решить уравнение 2cos²x - cos x - 1 = 0, давайте введем замену, чтобы упростить его:

Пусть t = cos(x). Тогда уравнение примет следующий вид:

2t² - t - 1 = 0

Это уравнение квадратного типа. Давайте решим его с помощью квадратного уравнения:

Сначала умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

4t² - 2t - 2 = 0

Теперь мы можем использовать квадратное уравнение:

D = b² - 4ac, где a = 4, b = -2, и c = -2.

D = (-2)² - 4 * 4 * (-2) = 4 + 32 = 36

D > 0, поэтому у нас есть два действительных корня.

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

t₁ = (-b + √D) / (2a) = (2 + √36) / 8 = (2 + 6) / 8 = 8 / 8 = 1

t₂ = (-b - √D) / (2a) = (2 - √36) / 8 = (2 - 6) / 8 = -4 / 8 = -1/2

Теперь у нас есть два значения t: t₁ = 1 и t₂ = -1/2. Нам нужно найти соответствующие значения угла x, для которых cos(x) равен этим значениям.

Для t₁ = 1:

cos(x) = 1

Это верно, когда x равно 0 и кратным 2π:

x₁ = 0 + 2πk, где k - целое число.

Для t₂ = -1/2:

cos(x) = -1/2

Это верно, когда x равно π/3 и кратным 2π:

x₂ = π/3 + 2πk, где k - целое число.

Итак, решениями уравнения 2cos²x - cos x - 1 = 0 являются:

x₁ = 2πk, где k - целое число.

x₂ = π/3 + 2πk, где k - целое число.