Question

Найти область определения функции Z= arcsin y/x

Answer 1

Ответ:

$z=arcsin \dfrac{y}{x}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ OOF:\ -1\leq \dfrac{y}{x}\leq 1\ \ ,\ \ x\ne 0\\\\\\\left\{\begin{array}{l}\ \ \dfrac{y}{x}\leq 1\\\dfrac{y}{x}\geq -1\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\ \ \dfrac{y}{x}-1\leq 0\\\dfrac{y}{x}+1\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\ \ \dfrac{y-x}{x}\leq 0\\\dfrac{y+x}{x}\geq 0\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow$

$a)\ \ \dfrac{y-x}{x}\leq 0\ \ \to \ \ \left\{\begin{array}{l}y-x\leq 0\\x>0\end{array}\right\ \ \ ili\ \ \ \left\{\begin{array}{l}y-x\geq 0\\x0\end{array}\right\ \ ili\ \ \left\{\begin{array}{l}y\geq x\\x$

Области заштрихованы на рис. 1 .

$b)\ \ \dfrac{y+x}{x}\geq 0\ \ \to \ \ \ \left\{\begin{array}{l}y+x\geq 0\\x>0\end{array}\right\ \ ili\ \ \left\{\begin{array}{l}y+x\leq 0\\x0\end{array}\right\ \ ili\ \ \left\{\begin{array}{l}y\leq x\\x$

Области заштрихованы на рис. 2 .

$c)$   Область определения заданной функции заштрихована на рис. 3.  

 ООФ является часть плоскости, расположенная между прямыми  у=х  и  у= -х , в правой и левой полуплоскостях .

Answer 2

Функция $Z = \arcsin\left(\frac{y}{x}\right)$ имеет ограничение на свою область определения из-за существования арксинуса. Арксинус определен только для значений в интервале $[-1, 1]$. Таким образом, чтобы найти область определения функции $Z$, нужно учесть это ограничение.

Область определения функции $Z$ будет следующей:

$-1 \leq \frac{y}{x} \leq 1$

Это неравенство можно переписать следующим образом, умножив все части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, чтобы избежать деления на ноль):

$-x \leq y \leq x$

Таким образом, область определения функции $Z$ - это любая пара значений $(x, y)$, где $y$ находится в интервале $[-x, x]$, и $x$ может быть любым действительным числом, кроме нуля.