Question

Довести, що многочлен набуває невід‘ємних значень при будь-яких чисельних значень х,у: х²+у²-2ху+х-у+1

Answer 1

Ответ:

Який із виразів -х2, (-х)2, х3 за будь-яких значень x набуває таких значень:

1) додатних; 3) невід'ємних;

2) від'ємних; 4) недодатних?

Answer 2

Для доведення того, що заданий многочлен $P(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + x - y + 1$ набуває невід'ємних значень при будь-яких чисельних значеннях $x$ та $y$, спробуємо виразити його у вигляді суми квадратів.

Розглянемо многочлен $P(x, y)$ і спробуємо виразити його у вигляді суми квадратів: $P(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + x - y + 1$ $P(x, y) = (x^2 - 2xy + y^2) + (x - y) + 1$ $P(x, y) = (x - y)^2 + (x - y) + 1$

Тепер ми можемо побачити, що ми виразили многочлен $P(x, y)$ у вигляді суми квадрату $(x - y)^2$ та лінійного виразу $(x - y)$ та константи 1. Ця сума складається тільки з невід'ємних складових.

Отже, ми довели, що многочлен $P(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + x - y + 1$ набуває невід'ємних значень при будь-яких чисельних значеннях $x$ та $y$.