Question

Исследуйте функцию на экстремум y =x^4-x​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y'=4x³-1=0

4x³=1 ; x³=1/4 ; x=∛(1/4)=1/∛4

при x<1/∛4 y'<0

при x>1/∛4 y'>0

=> в точке х=1/∛4  минимум    

Answer 2

Для исследования функции на экстремум, нам необходимо найти её производные и определить точки, в которых производная равна нулю или не существует. Затем мы используем тест на определение типа экстремума (максимума или минимума) в этих точках. Давайте начнем с нахождения производных:

Исходная функция: y = x^4 - x

1. Найдем производную первого порядка (производную функции по x):

dy/dx = 4x^3 - 1

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

4x^3 - 1 = 0

4x^3 = 1

x^3 = 1/4

x = (1/4)^(1/3)

x = 1/2

Теперь у нас есть одна критическая точка x = 1/2. Чтобы определить тип экстремума в этой точке, мы используем вторую производную:

2. Найдем производную второго порядка:

d^2y/dx^2 = 12x^2

Теперь подставим x = 1/2 во вторую производную:

d^2y/dx^2 = 12(1/2)^2 = 3

Вторая производная положительна в точке x = 1/2 (d^2y/dx^2 > 0). Это означает, что у нас есть локальный минимум в этой точке.

Итак, функция y = x^4 - x имеет локальный минимум в точке (1/2, -1/16). Это означает, что значение функции в этой точке (-1/16) является наименьшим значением функции в некоторой окрестности этой точки.