Question

Для функции y=f(x) найдите отношения ∆f к ∆x при переходе от точки с абсциссай x к точки с абсциссой x+∆x,если: 1)f(x)=3x^2+1 3)f(x)=cosx

Answer 1

$f(x)=3x^2+1$

$\dfrac{\Delta f}{\Delta x} =\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\dfrac{(3(x+\Delta x)^2+1)-(3x^2+1)}{\Delta x} =$

$=\dfrac{3x^2+6x\Delta x+3(\Delta x)^2+1-3x^2-1}{\Delta x} =$

$=\dfrac{6x\Delta x+3(\Delta x)^2}{\Delta x} =6x+3\Delta x$

$f(x)=\cos x$

$\dfrac{\Delta f}{\Delta x} =\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\dfrac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}$

Answer 2

Для нахождения отношения изменения функции (∆f) к изменению аргумента (∆x) при переходе от точки с абсциссой x к точке с абсциссой x + ∆x, мы можем использовать понятие производной функции. Производная функции f(x) - это скорость изменения функции по отношению к её аргументу x. Мы можем найти производные для данных функций и использовать их для нахождения отношений ∆f к ∆x.

1. Для функции f(x) = 3x^2 + 1: Сначала найдем производную функции f(x) по x: f'(x) = d/dx (3x^2 + 1) = 6x.

Теперь мы можем выразить изменение функции (∆f) и изменение аргумента (∆x) следующим образом: ∆f = f(x + ∆x) - f(x) = (3(x + ∆x)^2 + 1) - (3x^2 + 1) = 3(x^2 + 2x∆x + ∆x^2) - 3x^2 ∆f = 3(2x∆x + ∆x^2)

Теперь мы можем найти отношение ∆f к ∆x: (∆f/∆x) = 3(2x∆x + ∆x^2)/∆x = 6x + 3∆x.

Таким образом, отношение (∆f/∆x) для функции f(x) = 3x^2 + 1 равно 6x + 3∆x.

2. Для функции f(x) = cos(x): Найдем производную функции f(x) = cos(x): f'(x) = d/dx (cos(x)) = -sin(x).

Теперь выразим изменение функции (∆f) и изменение аргумента (∆x): ∆f = f(x + ∆x) - f(x) = cos(x + ∆x) - cos(x).

Теперь мы можем найти отношение ∆f к ∆x: (∆f/∆x) = [cos(x + ∆x) - cos(x)]/∆x.

Отношение (∆f/∆x) для функции f(x) = cos(x) зависит от конкретного значения x и ∆x и не имеет фиксированного аналитического выражения, как в случае функции f(x) = 3x^2 + 1.