Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x^3-3x^2?

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 - 3x^2$, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$.
2. Решите уравнение $f'(x) = 0$, чтобы найти критические точки.
3. Создайте таблицу знаков производной на основе критических точек и интервалов между ними.
4. Определите знаки производной в каждом интервале.
5. Определите промежутки возрастания и убывания на основе знаков производной.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - 6x$

2. Решим уравнение $f'(x) = 0$ для нахождения критических точек: $3x^2 - 6x = 0$

Факторизуем это уравнение: $3x(x - 2) = 0$

Из этого уравнения получаем два значения $x$: $x_1 = 0$ $x_2 = 2$

Эти значения $x_1$ и $x_2$ представляют собой критические точки функции $f(x)$.

3. Создадим таблицу знаков производной:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty, 0) & (0, 2) & (2, +\infty) \\ \hline \text{Знак } f'(x) & - & + & + \\ \hline \end{array}$$

4. Определим знаки производной в каждом интервале:

• На интервале $(- \infty, 0)$ производная $f'(x)$ отрицательна ($f'(x) < 0$).
• На интервале $(0, 2)$ производная $f'(x)$ положительна ($f'(x) > 0$).
• На интервале $(2, +\infty)$ производная $f'(x)$ также положительна ($f'(x) > 0$).

5. Определим промежутки возрастания и убывания:

• Функция $f(x)$ возрастает на интервале $(0, 2)$.
• Функция $f(x)$ также возрастает на интервале $(2, +\infty)$.

Таким образом, промежутки возрастания функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ находятся на интервалах $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$, а промежутки убывания отсутствуют.